BO

BO（Buchholz's Ordinal），是 googology 中一个非常重要的序数。它被认为是具有“里程碑”意义的大序数，是 PSS Hydra、HPrSS、双行 BMS 及诸多序数记号的极限。学会一个 BO 级别的序数记号被认为是 googology 新人入门的标志。

序数记号	表达式
BOCF / MOCF	$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega })$
BMS	$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$
0-Y	$1,4$
1-Y	$1,2,4,8$
BHM	$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 2\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$
BSM	$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 2& 2& 3\end{array}\right)$
NOCF	$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\omega }})/\psi ({\mathrm{\Omega }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\psi (\mathrm{\Omega })}})$
M 记号	$\psi (\psi (M\times \omega ))$
Catching 函数	$C(0)$

性质

证明论序数：${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}$，${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}$，$\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\mathrm{\wedge }{\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{.}$，$\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{R}\mathrm{T}$，${\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}}^r$，${\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{i}}^r$，$\mathrm{K}\mathrm{P}{\beta }^r$，${\mathrm{I}\mathrm{D}}_{<\omega }$，$({\mathrm{I}\mathrm{D}}_{<\omega }^2{)}_0$

极限在此处的记号： PSS Hydra，HPrSS，双行 BMS（PSS），SIUN，PrGS，b-THIAN，带 & 的 BEAF，ABN I，三就跳函数，FPrSS，mEAN

BO 是 FGH 和 SGH 的第一个追平点。