链式箭头记号：修订间差异

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2025年8月20日 (三) 16:26的最新版本

链式箭头记号(Chained arrow notation,别名康威链^[注])是由John Horton Conway和Richard K. Guy制作的高德纳箭头的推广记号。

定义

$a \to b = a^{b}$

$a \to b \to c = a ↑^{c} b = a \underset{c}{\underset{⏟}{↑ \dots ↑}} b$

$a \to \dots \to b \to 1 = a \to \dots \to b$

$a \to \dots \to b \to 1 \to c = a \to \dots \to b$

$a \to \dots \to b \to (c + 1) \to (d + 1) = a \to \dots \to b \to (a \to \dots \to b \to c \to (d + 1)) \to d$

示例

$\begin{aligned} 3 \to 3 \to 2 \to 2 & = 3 \to 3 \to (3 \to 3 \to 1 \to 2) \to 1 \\ = 3 \to 3 \to (3 \to 3 \to 1 \to 2) \\ = 3 \to 3 \to (3 \to 3) \\ = 3 \to 3 \to 27 \\ = 3 ↑^{27} 3 \end{aligned}$

cg函数

$c g (n) = \underset{n}{\underset{⏟}{n \to n \to \dots \to n \to n}}$

(很明显是Conway-Guy函数)

下标拓展

这是由Peter Hurford给出的链式箭头记号的下标拓展。

较为详细的定义如下：

$a \to_{1} b = a^{b}$

$a \to_{i} \dots \to_{i} b \to 1 = a \to_{i} \dots \to_{i} b$

$a \to_{i} \dots \to_{i} b \to_{i} 1 \to_{i} c = a \to_{i} \dots \to_{i} b$

$a \to_{i + 1} b = \underset{b个 a}{\underset{⏟}{a \to_{i} a \to_{i} . . . \to_{i} a}}$

$a \to_{i} \dots \to_{i} b \to_{i} (c + 1) \to_{i} (d + 1) = a \to_{i} \dots \to_{i} b \to_{i} (a \to_{i} \dots \to_{i} b \to_{i} c \to_{i} (d + 1)) \to_{i} d$

小贴士

1. $c g (n)$ 的 FGH 增长率是 $ω^{2}$ 。

2. $n \to_{n} n$ 的 FGH 增长率是 $ω^{3}$ 。

3.葛立恒数 $G (64)$ 介于 $3 \to 3 \to 64 \to 2$ 和 $3 \to 3 \to 65 \to 2$ 之间。

@@ 第14行： / 第14行： @@
 ==== 示例 ====
 <math>\begin{align}
-\rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2 \, & = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 2) \rightarrow 1\\&= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 2)\\&= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3)\\&= 3 \rightarrow 3 \rightarrow 27\\&= 3 \uparrow^{27} 3
+\rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 2 \; & = 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 2) \rightarrow 1\\&= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3 \rightarrow 1 \rightarrow 2)\\&= 3 \rightarrow 3 \rightarrow (3 \rightarrow 3)\\&= 3 \rightarrow 3 \rightarrow 27\\&= 3 \uparrow^{27} 3
 \end{align}</math>
@@ 第23行： / 第23行： @@
 ==== 下标拓展 ====
-这是由Peter Hurford给出的链式箭头记号的下标拓展：
+这是由Peter Hurford给出的链式箭头记号的下标拓展。
-<math>a \rightarrow_c b = \underbrace{a \rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}\ldots\rightarrow_{c-1} a \rightarrow_{c-1}a}_{b \rightarrow_{c-1}'s}</math>
+较为详细的定义如下：
+<math>a \rightarrow_1 b = a^ b</math>
+<math>a \rightarrow_i\ldots\rightarrow_i b \rightarrow 1 = a \rightarrow_i\ldots\rightarrow_i b</math>
+<math>a \rightarrow_i\ldots\rightarrow_i b \rightarrow_i 1 \rightarrow_i c = a \rightarrow_i\ldots\rightarrow_i b</math>
+<math>a\rightarrow_{i+1} b=\underbrace{a\rightarrow_{i} a\rightarrow_{i}...\rightarrow_{i}a}_{\text{b个}a} </math>
+<math>a \rightarrow_i\ldots\rightarrow_i b \rightarrow_i (c + 1) \rightarrow_i (d + 1) = a \rightarrow_i\ldots\rightarrow_i b \rightarrow_i (a \rightarrow_i\ldots\rightarrow_i b \rightarrow_i c \rightarrow_i (d + 1) ) \rightarrow_i d</math>
 ==== 小贴士 ====
-[[葛立恒数]]G(64)介于<math>3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2</math>和<math>3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2</math>之间。
+.<math>cg(n)</math>的 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 增长率是<math>\omega^2</math>。
+.<math>n \rightarrow_n n</math>的 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 增长率是<math>\omega^3</math>。
+.[[葛立恒数]]<math>G(64)</math>介于<math>3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2</math>和<math>3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2</math>之间。
+{{默认排序:大数记号}}
+[[分类:记号]]
+[[分类:入门]]