初等嵌入：修订间差异

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2025年8月17日 (日) 09:59的最新版本

初等嵌入（Elementary Embedding）是模型论中的一个核心概念，用于描述两个结构之间的映射，该映射不仅保持结构的基本组成（如函数和关系），还严格保持所有一阶逻辑公式的真值。

定义

设 L 为一阶语言，M 和 N 是两个 L-结构（即模型）。一个映射 $j : M \to N$ 称为从 M 到 N 的初等嵌入，当且仅当以下条件成立：

单射性：j 是单射（对不同的 $a, b \in M$ ，有 $j (a) \neq j (b)$ ）。
初等性：对任意一阶公式 $φ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 及所有 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in M$ ，有： $M ⊨ φ [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}] \Rightarrow N ⊨ φ [j (a_{1}), j (a_{2}), \dots, j (a_{n})]$

进一步， $j$ 称为非平凡初等嵌入，当且仅当存在 $x \in M$ 使得 $j (x) \neq x$ 。

也可以要求 M 和 N 为传递类，且满足 ZF⁻。

临界点

对非平凡初等嵌入 $j : M \to N$ 必存在唯一的最小序数 $κ$ 使 $j (κ) \neq κ$ 。此序数 $κ$ 称为 $j$ 的临界点（Critical Point），记为 $c r i t (j) = κ$ 。

共尾性

嵌入 $j : M \to N$ 称为共尾的（Cofinality），当且仅当 $\forall y \in N \exists x \in M (y \in j (x))$ 。

若 $M$ 满足 ZF，且 $N \subseteq M$ ，则任何初等嵌入 $j : M \to N$ 必为共尾的。

Kunen 定理

在 ZFC 框架下，不存在非平凡初等嵌入 $j : V \to V$ 。

更具体地，Kunen 证明：对任意序数 $λ$ ，不存在非平凡初等嵌入 $j : V_{λ + 2} \to V_{λ + 2}$ 使得 V 满足 ZFC。

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-非平凡初等嵌入
+'''初等嵌入'''（Elementary Embedding） 是模型论中的一个核心概念，用于描述两个结构之间的映射，该映射不仅保持结构的基本组成（如函数和关系），还严格保持所有一阶逻辑公式的真值。
-设 M、N 为传递类且满足 ZF⁻（不含幂集公理的 ZF）。
+=== 定义 ===
+设 L 为一阶语言，M 和 N 是两个 L-结构（即[[模型]]）。一个映射 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为 从 M 到 N 的初等嵌入，当且仅当以下条件成立：
-称映射 j: M → N 为初等嵌入，当且仅当对任意一阶公式 φ(x₁,…,xₙ) 及任意 a₁,…,aₙ ∈ M，都有
+# 单射性：j 是单射（对不同的 <math>a,b\in M</math>，有 <math>j(a)\neq j(b)</math>）。
+# 初等性：对任意一阶公式 <math>\varphi(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math> 及所有 <math>a_1,a_2,\cdots,a_n\in M</math>，有：<math>M\models\varphi[a_1,a_2,\cdots,a_n]\Rightarrow N\models\varphi[j(a_1),j(a_2),\cdots,j(a_n)]</math>
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+进一步，<math>j</math> 称为'''非平凡初等嵌入'''，当且仅当存在 <math>x\in M</math> 使得 <math>j(x)\neq x</math>。
-M\models\varphi[a_1,\dots,a_n] \iff N\models\varphi[j(a_1),\dots,j(a_n)].
+也可以要求 M 和 N 为[[传递集#传递类（Transitive Class）|传递类]]，且满足 [[ZFC公理体系|ZF<sup>−</sup>]]。
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+=== 临界点 ===
+对非平凡初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必存在唯一的最小序数 <math>\kappa</math> 使 <math>j(\kappa)\neq\kappa</math>。此序数 <math>\kappa</math> 称为 <math>j</math> 的'''临界点'''（Critical Point），记为 <math>\mathrm{crit}(j)=\kappa</math>。
-若存在 x ∈ M 使 j(x) ≠ x，则称该嵌入为非平凡。
+=== 共尾性 ===
+嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为'''共尾的'''（Cofinality），当且仅当 <math>\forall y\in N\exists x\in M(y\in j(x))</math>。
-临界点
+若 <math>M</math> 满足 [[ZFC公理体系|ZF]]，且 <math>N\subseteq M</math>，则任何初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必为共尾的。
-对于非平凡初等嵌入 j: M → N，必存在最小序数 κ 使 j(κ) ≠ κ。
+=== Kunen 定理 ===
+在 [[ZFC公理体系|ZFC]] 框架下，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V\rightarrow V</math>。
-记该最小序数为 j 的临界点：
+更具体地，Kunen 证明：对任意序数 <math>\lambda</math>，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V_{\lambda+2}\rightarrow V_{\lambda+2}</math> 使得 V 满足 ZFC。
+[[分类:集合论相关]]
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-\operatorname{crit}(j)=\kappa.
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-共尾性
-称嵌入 j: M → N 为共尾，当且仅当
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-\forall y\in N,\ \exists x\in M,\ y\in j(x).
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-若 M ⊨ ZF 且 N ⊆ M，则任何初等嵌入都是共尾的。
-一致性（Kunen 定理）
-在 ZFC（或 AC）框架下，不存在非平凡初等嵌入 j: V → V，其中 V 为全集。
-更具体地（Kunen，1971）：对任意序数 λ，不存在非平凡初等嵌入
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-j: V_{\lambda+2}\to V_{\lambda+2}
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-使 V 满足 ZFC。