初等嵌入

初等嵌入（Elementary Embedding） 是模型论中的一个核心概念，用于描述两个结构之间的映射，该映射不仅保持结构的基本组成（如函数和关系），还严格保持所有一阶逻辑公式的真值。

定义

设 L 为一阶语言，M 和 N 是两个 L-结构（即模型）。一个映射 $j:M\to N$ 称为 从 M 到 N 的初等嵌入，当且仅当以下条件成立：

1. 单射性：j 是单射（对不同的 $a,b\in M$，有 $j(a)\ne j(b)$）。
2. 初等性：对任意一阶公式 $\phi (x_1,x_2,\cdots ,x_n)$ 及所有 $a_1,a_2,\cdots ,a_n\in M$，有：$M\models \phi [a_1,a_2,\cdots ,a_n]\Rightarrow N\models \phi [j(a_1),j(a_2),\cdots ,j(a_n)]$

进一步，$j$ 称为非平凡初等嵌入，当且仅当存在 $x\in M$ 使得 $j(x)\ne x$。

也可以要求 M 和 N 为传递类，且满足 ZF⁻。

临界点

对非平凡初等嵌入 $j:M\to N$ 必存在唯一的最小序数 $\kappa$ 使 $j(\kappa )\ne \kappa$。此序数 $\kappa$ 称为 $j$ 的临界点（Critical Point），记为 $\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{t}(j)=\kappa$。

共尾性

嵌入 $j:M\to N$ 称为共尾的（Cofinality），当且仅当 $\mathrm{\forall }y\in N\mathrm{\exists }x\in M(y\in j(x))$。

若 $M$ 满足 ZF，且 $N\subseteq M$，则任何初等嵌入 $j:M\to N$ 必为共尾的。

Kunen 定理

在 ZFC 框架下，不存在非平凡初等嵌入 $j:V\to V$。

更具体地，Kunen 证明：对任意序数 $\lambda$，不存在非平凡初等嵌入 $j:V_{\lambda +2}\to V_{\lambda +2}$ 使得 V 满足 ZFC。