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初等嵌入：修订间差异

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灵依​（留言 | 贡献）
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创建页面，内容为“ <!-- 1. 非平凡初等嵌入 -->   <mtable columnalign="left">     <!-- 标题 -->     <mtr>       <mtd>         <mstyle mathvariant="bold" mathsize="1.2em">           <mtext>非平凡初等嵌入</mtext>         </mstyle>       </mtd>     </mtr>     <!-- 定义 -->     <mtr>       <mtd>         <mrow>           <mtext>设</mtext>           <mi>M</mi>           <mo>,</mo>           <mi…”
 
Tabelog​（留言 | 贡献）
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无编辑摘要
 
（未显示2个用户的14个中间版本）
第1行： 第1行：
 <!-- 1. 非平凡初等嵌入 -->
'''初等嵌入'''（Elementary Embedding） 是模型论中的一个核心概念，用于描述两个结构之间的映射，该映射不仅保持结构的基本组成（如函数和关系），还严格保持所有一阶逻辑公式的真值。


  <mtable columnalign="left">
=== 定义 ===
设 L 为一阶语言，M 和 N 是两个 L-结构（即[[模型]]）。一个映射 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为 从 M 到 N 的初等嵌入，当且仅当以下条件成立：


    <!-- 标题 -->
# 单射性：j 是单射（对不同的 <math>a,b\in M</math>，有 <math>j(a)\neq j(b)</math>）。
# 初等性：对任意一阶公式 <math>\varphi(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math> 及所有 <math>a_1,a_2,\cdots,a_n\in M</math>，有：<math>M\models\varphi[a_1,a_2,\cdots,a_n]\Rightarrow N\models\varphi[j(a_1),j(a_2),\cdots,j(a_n)]</math>


    <mtr>
进一步，<math>j</math> 称为'''非平凡初等嵌入'''，当且仅当存在 <math>x\in M</math> 使得 <math>j(x)\neq x</math>。


      <mtd>
也可以要求 M 和 N 为[[传递集#传递类（Transitive Class）|传递类]]，且满足 [[ZFC公理体系|ZF<sup>−</sup>]]。


        <mstyle mathvariant="bold" mathsize="1.2em">
=== 临界点 ===
对非平凡初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必存在唯一的最小序数 <math>\kappa</math> 使 <math>j(\kappa)\neq\kappa</math>。此序数 <math>\kappa</math> 称为 <math>j</math> 的'''临界点'''（Critical Point），记为 <math>\mathrm{crit}(j)=\kappa</math>。


          <mtext>非平凡初等嵌入</mtext>
=== 共尾性 ===
嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为'''共尾的'''（Cofinality），当且仅当 <math>\forall y\in N\exists x\in M(y\in j(x))</math>。


        </mstyle>
若 <math>M</math> 满足 [[ZFC公理体系|ZF]]，且 <math>N\subseteq M</math>，则任何初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必为共尾的。


      </mtd>
=== Kunen 定理 ===
在 [[ZFC公理体系|ZFC]] 框架下，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V\rightarrow V</math>。


    </mtr>
更具体地，Kunen 证明：对任意序数 <math>\lambda</math>，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V_{\lambda+2}\rightarrow V_{\lambda+2}</math> 使得 V 满足 ZFC。
 
[[分类:集合论相关]]
    <!-- 定义 -->
 
    <mtr>
 
      <mtd>
 
        <mrow>
 
          <mtext>设</mtext>
 
          <mi>M</mi>
 
          <mo>,</mo>
 
          <mi>N</mi>
 
          <mtext>为传递类且满足 ZF⁻；映射</mtext>
 
          <mi>j</mi>
 
          <mo>:</mo>
 
          <mi>M</mi>
 
          <mo>→</mo>
 
          <mi>N</mi>
 
          <mtext>称为初等嵌入当且仅当</mtext>
 
        </mrow>
 
        <mrow>
 
          <mo>∀</mo>
 
          <mi>φ</mi>
 
          <mo>(</mo>
 
          <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
 
          <mo>,</mo>
 
          <mo>…</mo>
 
          <mo>,</mo>
 
          <msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub>
 
          <mo>)</mo>
 
          <mo>,</mo>
 
          <mo>∀</mo>
 
          <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
 
          <mo>,</mo>
 
          <mo>…</mo>
 
          <mo>,</mo>
 
          <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
 
          <mo>∈</mo>
 
          <mi>M</mi>
 
        </mrow>
 
        <mrow>
 
          <mi>M</mi>
 
          <mo>⊨</mo>
 
          <mi>φ</mi>
 
          <mo>[</mo>
 
          <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
 
          <mo>,</mo>
 
          <mo>…</mo>
 
          <mo>,</mo>
 
          <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
 
          <mo>]</mo>
 
          <mo>⇔</mo>
 
          <mi>N</mi>
 
          <mo>⊨</mo>
 
          <mi>φ</mi>
 
          <mo>[</mo>
 
          <mi>j</mi>
 
          <mo>(</mo>
 
          <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
 
          <mo>)</mo>
 
          <mo>,</mo>
 
          <mo>…</mo>
 
          <mo>,</mo>
 
          <mi>j</mi>
 
          <mo>(</mo>
 
          <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
 
          <mo>)</mo>
 
          <mo>]</mo>
 
        </mrow>
 
        <mtext>；且称为</mtext>
 
        <mstyle mathvariant="bold">
 
          <mtext>非平凡</mtext>
 
        </mstyle>
 
        <mtext>当且仅当</mtext>
 
        <mo>∃</mo>
 
        <mi>x</mi>
 
        <mo>∈</mo>
 
        <mi>M</mi>
 
        <mo>,</mo>
 
        <mi>j</mi>
 
        <mo>(</mo>
 
        <mi>x</mi>
 
        <mo>)</mo>
 
        <mo>≠</mo>
 
        <mi>x</mi>
 
        <mo>.</mo>
 
      </mtd>
 
    </mtr>
 
    <mtr><mtd><mspace height="0.6em"/></mtd></mtr>
 
    <!-- 2. 临界点 -->
 
    <mtr>
 
      <mtd>
 
        <mstyle mathvariant="bold" mathsize="1.2em">
 
          <mtext>临界点</mtext>
 
        </mstyle>
 
      </mtd>
 
    </mtr>
 
    <mtr>
 
      <mtd>
 
        <mrow>
 
          <mtext>对非平凡初等嵌入</mtext>
 
          <mi>j</mi>
 
          <mo>:</mo>
 
          <mi>M</mi>
 
          <mo>→</mo>
 
          <mi>N</mi>
 
          <mtext>，存在最小序数</mtext>
 
          <mi>κ</mi>
 
          <mtext>使得</mtext>
 
          <mi>j</mi>
 
          <mo>(</mo>
 
          <mi>κ</mi>
 
          <mo>)</mo>
 
          <mo>≠</mo>
 
          <mi>κ</mi>
 
          <mo>，记</mtext>
 
          <mtext>crit</mtext>
 
          <mo>(</mo>
 
          <mi>j</mi>
 
          <mo>)</mo>
 
          <mo>=</mo>
 
          <mi>κ</mi>
 
          <mo>.</mo>
 
        </mrow>
 
      </mtd>
 
    </mtr>
 
    <mtr><mtd><mspace height="0.6em"/></mtd></mtr>
 
    <!-- 3. 共尾性 -->
 
    <mtr>
 
      <mtd>
 
        <mstyle mathvariant="bold" mathsize="1.2em">
 
          <mtext>共尾性</mtext>
 
        </mstyle>
 
      </mtd>
 
    </mtr>
 
    <mtr>
 
      <mtd>
 
        <mrow>
 
          <mtext>嵌入</mtext>
 
          <mi>j</mi>
 
          <mo>:</mo>
 
          <mi>M</mi>
 
          <mo>→</mo>
 
          <mi>N</mi>
 
          <mtext>称为共尾，当且仅当</mtext>
 
          <mo>∀</mo>
 
          <mi>y</mi>
 
          <mo>∈</mo>
 
          <mi>N</mi>
 
          <mo>,</mo>
 
          <mo>∃</mo>
 
          <mi>x</mi>
 
          <mo>∈</mo>
 
          <mi>M</mi>
 
          <mo>,</mo>
 
          <mi>y</mi>
 
          <mo>∈</mo>
 
          <mi>j</mi>
 
          <mo>(</mo>
 
          <mi>x</mi>
 
          <mo>)</mo>
 
          <mo>.</mo>
 
        </mrow>
 
        <mtext>若</mtext>
 
          <mi>M</mi>
 
          <mo>⊨</mo>
 
          <mtext>ZF</mtext>
 
          <mtext>且</mtext>
 
          <mi>N</mi>
 
          <mo>⊆</mo>
 
          <mi>M</mi>
 
          <mtext>，则任何初等嵌入都是共尾的</mtext>
 
        <mo>.</mo>
 
      </mtd>
 
    </mtr>
 
    <mtr><mtd><mspace height="0.6em"/></mtd></mtr>
 
    <!-- 4. 一致性（Kunen 定理） -->
 
    <mtr>
 
      <mtd>
 
        <mstyle mathvariant="bold" mathsize="1.2em">
 
          <mtext>一致性</mtext>
 
        </mstyle>
 
      </mtd>
 
    </mtr>
 
    <mtr>
 
      <mtd>
 
        <mrow>
 
          <mtext>在 ZFC 中不存在非平凡初等嵌入</mtext>
 
          <mi>j</mi>
 
          <mo>:</mo>
 
          <mi>V</mi>
 
          <mo>→</mo>
 
          <mi>V</mi>
 
          <mo>.</mo>
 
        </mrow>
 
        <mrow>
 
          <mtext>更具体地（Kunen, 1971）：对任意序数</mtext>
 
          <mi>λ</mi>
 
          <mtext>，不存在非平凡初等嵌入</mtext>
 
          <mi>j</mi>
 
          <mo>:</mo>
 
          <msub><mi>V</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
 
          <mo>→</mo>
 
          <msub><mi>V</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
 
          <mtext>。</mtext>
 
        </mrow>
 
      </mtd>
 
    </mtr>
 
  </mtable>
 
<nowiki></math></nowiki>

2025年8月17日 (日) 09:59的最新版本

初等嵌入（Elementary Embedding） 是模型论中的一个核心概念，用于描述两个结构之间的映射，该映射不仅保持结构的基本组成（如函数和关系），还严格保持所有一阶逻辑公式的真值。

定义

设 L 为一阶语言，M 和 N 是两个 L-结构（即模型）。一个映射 j:M→N 称为 从 M 到 N 的初等嵌入，当且仅当以下条件成立：

  1. 单射性：j 是单射（对不同的 a,b∈M，有 j(a)≠j(b)）。
  2. 初等性：对任意一阶公式 φ(x1,x2,⋯,xn) 及所有 a1,a2,⋯,an∈M，有：M⊨φ[a1,a2,⋯,an]⇒N⊨φ[j(a1),j(a2),⋯,j(an)]

进一步，j 称为非平凡初等嵌入，当且仅当存在 x∈M 使得 j(x)≠x。

也可以要求 M 和 N 为传递类，且满足 ZF−。

临界点

对非平凡初等嵌入 j:M→N 必存在唯一的最小序数 κ 使 j(κ)≠κ。此序数 κ 称为 j 的临界点（Critical Point），记为 crit(j)=κ。

共尾性

嵌入 j:M→N 称为共尾的（Cofinality），当且仅当 ∀y∈N∃x∈M(y∈j(x))。

若 M 满足 ZF，且 N⊆M，则任何初等嵌入 j:M→N 必为共尾的。

Kunen 定理

在 ZFC 框架下，不存在非平凡初等嵌入 j:V→V。

更具体地，Kunen 证明：对任意序数 λ，不存在非平凡初等嵌入 j:Vλ+2→Vλ+2 使得 V 满足 ZFC。

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