FUO

在集合论中，${\omega }_1$（First Uncountable Ordinal，FUO）表示第一个不可数序数，即所有可数序数的最小上界。它是序数的良序集合，其元素为所有与自然数集序型相同的可数良序集。作为序数，${\omega }_1$ 本身是不可数的，其基数为 ${\mathrm{\aleph }}_1$，即第一个不可数基数。在 ZFC 公理体系下，${\omega }_1$ 与 ${\mathrm{\aleph }}_1$ 等价，因为每个序数的基数等于其序型。

性质

1. 正则性：${\omega }_1$ 是正则基数，即它不能表示为比它小的基数的并，这一性质在 ZFC 中成立
2. 闭无界子集：${\omega }_1$ 的任何闭无界子集的基数仍为 ${\mathrm{\aleph }}_1$，而任何无界子集（不包含上限的子集）的基数可能为 ${\mathrm{\aleph }}_0$ 或 ${\mathrm{\aleph }}_1$

Fodor 引理：对任何从 ${\omega }_1$ 到自身的回归函数（即满足 $f(\alpha )<\alpha$ 的函数），存在一个静止点 $\beta <{\omega }_1$ 和一个静止集 $S\subseteq {\omega }_1$，使得对所有 $\alpha \in S$，$f(\alpha )=\beta$。