EBO

EBO（Extended Buchholz Ordinal），是扩展 BOCF 的极限。

序数记号	表达式
BOCF	$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\ddots }})=\psi (I)$
MOCF	$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\ddots }})=\psi ({\psi }_I(0))$
BMS	$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 2& 3& 2\\ & 1& 1& 1& \\ & 1& 1& & \end{array}\right)=(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1)(2)$
UPMS	$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ & 1& 2& 2\\ & 1& 1& \end{array}\right)=(0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2)$
0-Y	$1,4,7,9,5$
1-Y / ω-Y	$1,2,4,8,12,15,9$
BHM	$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 2& 1\\ 0& 1& 0& 0& 1\end{array}\right)$
BSM	$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$
M 记号	$\psi (\psi (M^2))$
Catching 函数	$C(\omega )$
FOS	$0,1,\omega ,{\omega }^{\omega },{\omega }^{\omega }2,{\omega }^{\omega }2+{\omega }^2,{\omega }^{\omega }+1$

性质

证明论序数：${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{T}{\mathrm{R}}_{\mathrm{0}}$，${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{T}{\mathrm{R}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}$，${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{)}$，${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{R}\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}{\mathrm{\Sigma }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{1}}\mathrm{)}$，$\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{0}}\mathrm{-}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{.}$，$\mathrm{R}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}{\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{R}\mathrm{T}$，${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}}^r$，${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}}^r+{\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{i}}^r$，$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{i}}^{\mathrm{\omega }}\mathrm{+}\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{N}\mathrm{D}\mathrm{R}\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{-}\mathrm{\Sigma }\mathrm{)}$，$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{i}}^{\mathrm{\omega }}\mathrm{+}\mathrm{F}\mathrm{O}\mathrm{U}\mathrm{N}\mathrm{D}\mathrm{(}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{l}\mathrm{-}\mathrm{\Sigma }\mathrm{)}$，${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{I}\mathrm{D}}_0^{pos}$，${\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}\mathrm{-}\mathrm{I}\mathrm{D}}_0^{mon}$

极限在此处的记号：SSS（一行 BSM），扩展 BOCF，EBPF，ISSS，PrDS

EBO 是 FGH 和 SGH 的第 $\omega$ 个追平点。

是 BMS 的第一处循环提升，(0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1) 的 (3,1) 依次被 (1,1,1)、(1,1,1)(2,1,1)、(1,1,1)(2,1,1)(3,1) 等提升，直到提升到 $\mathrm{\Omega }$ 不动点。