Berkeley 基数

Berkeley 基数定义为这样的 $\kappa$：对任何传递集 $M$，若 $\kappa \in M$，且对任何序数 $\alpha <\kappa$，都存在一个初等嵌入 $j:M\prec M$，使得 $\alpha <\mathrm{crit}j<\kappa$。这些基数是在不含选择公理的 ZF 集合论语境中定义的。

Berkeley 基数由 W. Hugh Woodin 在大约 1992 年于伯克利举办的集合论研讨会上定义，当时听众中有 J. D. Hamkins、A. Lewis、D. Seabold、G. Hjorth，或许还有 R. Solovay 等人；它被提出作为一个挑战，以反驳一个看似过强的大基数公理。尽管如此，这些基数的存在性在 ZF 中仍未被反驳。

如果存在一个 Berkeley 基数，那么存在一个力迫扩张，迫使最小的 Berkeley 基数的共尾度为 $\omega$。似乎 Berkeley 性质的各种加强可以通过对 $\kappa$ 的共尾度施加条件来获得（共尾数越大，理论被认为越强，直到正则的 $\kappa$）。

扩展

一个基数 $\kappa$ 是 proto-Berkeley 的，如果对任何传递集 $M\ni \kappa$，都存在某个 $j:M\prec M$，使得 $\mathrm{crit}j<\kappa$。更一般地，一个基数是 α-proto-Berkeley 的，当且仅当对任何传递集 $M\ni \kappa$，都存在某个 $j:M\prec M$，使得 $\alpha <\mathrm{crit}j<\kappa$；因此如果 $\delta \ge \kappa$，则 $\delta$ 也是 $\alpha$-proto-Berkeley。最小的 proto-Berkeley 基数称为 ${\delta }_{\alpha }$。

一个基数 $\kappa$ 是 闭无界 Berkeley 基数，如果 $\kappa$ 是正则的，并且对所有闭无界子集 $C\subseteq \kappa$ 以及所有满足 $\kappa \in M$ 的传递集 $M$，都存在 $j\in {ℰ}(M)$，使得 $\mathrm{crit}j\in C$。

我们称 $\kappa$ 为极限闭无界 Berkeley 基数，如果它既是闭无界伯克利基数，又是伯克利基数的极限。

一个基数 $\delta$ 是 rank-Berkeley 的，当且仅当对所有 $\lambda >\delta$ 和所有 $\alpha <\delta$，都存在 $j\in E_{\lambda }$，使得 $\alpha <\mathrm{crit}(j)<\delta$ 且 $j(\delta )=\delta$。

一个基数 $\delta$ 是 proto-rank-Berkeley 的，当且仅当对所有 $\lambda >\delta$，都存在初等嵌入 $j:V_{\lambda }\to V_{\lambda }$，使得 $\mathrm{crit}(j)<\delta$ 且 $j(\delta )=\delta$。

一个基数 $\delta$ 是 ζ-proto Berkeley 的（对某个序数 $\zeta <\delta$），当且仅当对所有满足 $\delta \in M$ 的传递集 $M$，都存在初等嵌入 $j:M\to M$，使得 $\zeta <\mathrm{crit}(j)<\delta$。

一个基数 $\delta$ 是 ζ-proto rank-Berkeley 的（对某个序数 $\zeta <\delta$），当且仅当对所有 $\lambda >\delta$，都存在初等嵌入 $j:V_{\lambda }\to V_{\lambda }$，使得 $\zeta <\mathrm{crit}(j)<\delta$ 且 $j(\delta )=\delta$。

一个基数 $\lambda$ 是 X-closed rank Berkeley 的，如果对所有 $\gamma <\lambda <\alpha$，都存在初等嵌入 $j:V_{\alpha }\to V_{\alpha }$，使得 $\gamma <\mathrm{crit}(j)<\gamma$ 且 $j(x)=j[x]$。

一个基数 $\delta$ 是 Virtually-proto Berkeley 的，如果对任何满足 $\delta \subseteq M$ 的传递集 $M$，都存在一个泛型初等嵌入 $\pi :M\to M$，使得 $\mathrm{Crit}(\pi )<\delta$。

关联

如果 $\kappa$ 是最小的 Berkrley 基数，那么存在 $\gamma <\kappa$，使得 $(V_{\gamma },V_{\gamma +1})\models {\mathrm{Z}\mathrm{F}}_2+\text{“存在一个由 }j\text{ 见证的 Reinhardt 基数，并且在 }{\kappa }_{\omega }(j)\text{ 之上有一个 }\omega \text{-巨大基数”}$。

对每个 $\alpha$，${\delta }_{\alpha }$ 是 Berkrley 基数。因此 ${\delta }_{\alpha }$ 是高于 $\alpha$ 的最小 Berkrley 基数。

特别地，最小的 proto-Berkrley 基数 ${\delta }_0$ 也是最小的 Berkrley 基数。

如果 $\kappa$ 是 Berkrley 基数的极限，那么 $\kappa$ 不在 ${\delta }_{\alpha }$ 之中。

每个闭无界 Berkrley 基数都是完全 Reinhardt 的。

如果 $\kappa$ 是极限闭无界 Berkrley 基数，那么 $(V_{\gamma },V_{\gamma +1})\models \text{“存在一个Berkeley 基数是超级 Reinhardt 基数”}$。此外，这类基数构成的类是驻类。

如果 $\delta$ 是一个奇异 Berkrley 基数 $DC(cf(\delta {)}^{+})$，并且 $\delta$ 是那些自身为可扩基数极限的基数的极限，那么在假设 $\lambda$ 是 $I0$ 的情况下，$L(V_{\delta +1})$ 的结构类似于 $L(V_{\lambda +1})$ 的结构；即存在某个 $j:L(V_{\lambda +1})\prec L(V_{\lambda +1})$。例如，$\mathrm{\Theta }={\mathrm{\Theta }}_{V_{\delta +1}}^{L(V_{\delta +1})}$，那么 $\mathrm{\Theta }$ 在 $L(V_{\delta +1})$ 中是强极限，${\delta }^{+}$ 在 $L(V_{\delta +1})$ 中是正则且可测的，并且 $\mathrm{\Theta }$ 是可测基数的极限。