AOCF

Arai's Ordinal Collapse Function（AOCF）是一种类序数坍缩函数。

定义

定义 1

(1) 对于 $i<\omega$ 和 $\xi <\epsilon (A)$, ${\mathrm{\Lambda }}_i(\xi )$ 由 ${\mathrm{\Lambda }}_0(\xi )=\xi$ 和 ${\mathrm{\Lambda }}_{i+1}(\xi )={\mathrm{\Lambda }}^{{\mathrm{\Lambda }}_i(\xi )}$ 递归定义。

(2) 对于 $A\subset \text{Ord}$, 极限序数 $\alpha$ 和 $i\ge 0$, 令 $\alpha \in M_{2+i}(A)$, 当且仅当 $A\cap \alpha {⨿}_i^1$ 在 $\alpha$ 中是不可描述的。

(3) ${\kappa }^{+}$ 表示 $\kappa$ 之上的下一个正则序数。

(4) ${\mathrm{\Omega }}_{\alpha }:={\omega }_{\alpha }$ 表示 $\alpha >0$, ${\mathrm{\Omega }}_0:=0$ 以及 $\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1$。

下面我们同时定义类 ${{\mathscr{H}}}_{\alpha }(X)$, $M{h}_k^{\xi }(\xi )$ 和序数 ${\psi }_{\pi }^{\xi }(\alpha )$ 如下。令 $a<\mathrm{\Lambda }$ 和 $\phi$ 为二元 Veblen 函数。在函数 $+,\alpha \mapsto {\omega }^{\alpha }$ 下定义 $\{0,\mathbb{𝕂}\}\cup X$ 的 Skolem 壳 ${{\mathscr{H}}}_a(X)$, $(\alpha ,\beta )\mapsto \phi \alpha \beta (\alpha ,\beta <\mathbb{𝕂})$, $\alpha \mapsto {\mathrm{\Omega }}_{\alpha }(\alpha <\mathbb{𝕂})$ 和 $\psi$ 函数。$\text{Reg}$ 表示 $\le \mathbb{𝕂}$ 的正则序数的集合。我们有

定义 2 对 $Y\subset \mathbb{𝕂}$, 定义 ${{\mathscr{H}}}_a[Y](X):={{\mathscr{H}}}_a(Y\cup X)$。

(1) ${{\mathscr{H}}}_a(X)$ 的递归定义如下：

(1a) $\{0,\mathbb{𝕂}\}\cup X\subset {{\mathscr{H}}}_a(X)$.

(1b) $x,y\in {{\mathscr{H}}}_a(X)\Rightarrow x+y\in {{\mathscr{H}}}_a(X)$, $x\in {{\mathscr{H}}}_a(X)\Rightarrow {\omega }^x\in {{\mathscr{H}}}_a(X)$, 且 $x,y\in {{\mathscr{H}}}_a(X)\cap \mathbb{𝕂}\Rightarrow \phi xy\in {{\mathscr{H}}}_a(X)$。

(1c) $\mathbb{𝕂}>\alpha \in {{\mathscr{H}}}_a(X)\Rightarrow {\mathrm{\Omega }}_{\alpha }\in {{\mathscr{H}}}_a(X)$。

(1d) 若 $\pi \in {{\mathscr{H}}}_a(X)\cap \text{Reg}$ 且 $b\in {{\mathscr{H}}}_a(X)\cap a$, 则 ${\psi }_{\pi }(b)\in {{\mathscr{H}}}_a(X)$。

(1e) 若 $\{b,\xi \}\subset {{\mathscr{H}}}_a(X)$, $\xi \le b<a$, 则 $\kappa ={\psi }_{{\mathbb{𝕂}}^{\ast }}^{\xi }(b)\in {{\mathscr{H}}}_a(X)$, 其中 $\text{lh}(\overrightarrow{0})=N-3$。

(1f) 令 $\{\pi ,b,c\}\subset {{\mathscr{H}}}_a(X)$, 其中 $\pi <\mathbb{𝕂}$, $2\le k<N-1$ 为整数, 且 $\overrightarrow{\xi }=({\xi }_2,\dots ,{\xi }_k,{\xi }_{k+1})$ 为序数序列 ${\xi }_i<\epsilon (A)$, 其中 $\text{lh}(\overrightarrow{0})=N-2-k$ 使得 ${\xi }_{k+1}\ne 0$ 且 $K(\xi )\subset {{\mathscr{H}}}_a(X)$。假设 $\max (K(\xi )\cup \{c\})\le b<a$, 且 $\pi \in M{h}_2^b(\xi )$。那么 $\kappa ={\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{v}}(b)\in {{\mathscr{H}}}_a(X)$ 对于序列 $\overrightarrow{v}=({\xi }_2,\dots ,{\xi }_k+{\mathrm{\Lambda }}^{{\xi }_{k+1}}c)\ast \overrightarrow{0}$, 其中 $\text{lh}(\overrightarrow{0})=N-1-k$。

(1g) 令 $\{\pi ,b\}\subset {{\mathscr{H}}}_a(X)$, 其中 $\pi <\mathbb{𝕂}$, 且 $0\ne \xi <\epsilon (A)$ 为一个序数满足 $K(\xi )\subset {{\mathscr{H}}}_a(X)$。令 $\overrightarrow{v}=({\nu }_2,\dots ,{\nu }_{N-1})$ 为一个序数序列 $<\epsilon (A)$ 使得 $K(\overrightarrow{v})\subset {{\mathscr{H}}}_a(X)$。假设 $\max K(\overrightarrow{v})\le b<a$, $K(\overrightarrow{v})\subset {{\mathscr{H}}}_b(\pi )$, $\pi \in M{h}_2^b(\xi )$ 且 $\overrightarrow{v}<\xi$, 那么 $\kappa ={\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{v}}(b)\in {{\mathscr{H}}}_a(X)$。

(2) $M{h}_k^{\xi }(\xi )$ 以及 $M{h}_k^b(\xi )$ 定义如下：

首先令 $\mathbb{𝕂}\in M{h}_N^{\xi }(0):\iff \mathbb{𝕂}\in M_N\iff \mathbb{𝕂}$ 为 ${⨿}_{N-2}^1$ - 不可描述的。

类 $M{h}_k^a(\xi )$ 定义在 $2\le k<N$, $a<\mathrm{\Lambda }$, $\xi <\epsilon (\mathrm{\Lambda })$ 上。令 $\pi$ 为一个 $\le \mathbb{𝕂}$ 的正则序数。

于是对于 $\xi >0$ 有

$\pi \in M{h}_k^{\alpha }(\xi ):\iff \{\pi ,a\}\cup K(\xi )\subset H_a(\pi )\mathrm{\&}\mathrm{\forall }\overrightarrow{v}<\xi (K(\overrightarrow{v})\subset H_a(\pi )\Rightarrow \pi \in M_k(M{h}_k^{\alpha }(\overrightarrow{v}))),$

式中 $\overrightarrow{v}=({\nu }_k,\dots ,{\nu }_n)(2\le k\le n\le N-1)$ 取遍 $<\epsilon (\mathrm{\Lambda })$ 的非空序数序列，且

$\pi \in M{h}_k^{\alpha }(\overrightarrow{v}):\iff \pi \in \bigcap _{k\le i\le n}M{h}_i^{\alpha }({\nu }_i).$

按照惯例，对于 $2\le k<N,\pi \in M{h}_k^{\alpha }(0):\iff \pi \in M{h}_2^{\alpha }(\mathrm{\varnothing }):\iff \pi$ 为一个极限序数。注意到通过令 $\overrightarrow{v}=(0),\pi \in M{h}_k^{\alpha }(\xi )\Rightarrow \pi \in M_k$，对于 $\xi >0$。同样 $\overrightarrow{0}<1$，且 $M{h}_k^{\alpha }(1)=M_k$。

(3) ${\psi }_{\pi }^{\xi }(a)$ 定义如下：

令 $a<\mathrm{\Lambda }$ 为一个序数，$\pi \le \mathbb{𝕂}$ 为正则序数，且 $\xi$ 为序数数列 $<\epsilon (\mathrm{\Lambda })$ 使得 $lh(\xi )=N-2$。

接下来令

${\psi }_{\pi }^{\xi }(a):=\min (\{\pi \}\cup \{\kappa \in M{h}_2^{\alpha }(\xi )\cap \pi :H_a(\kappa )\cap \pi \subset \kappa ,K(\xi )\cup \{\pi ,a\}\subset H_a(\kappa )\}).$

令 ${\psi }_{\pi }a:={\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{0}}a$，其中 $lh(\overrightarrow{0})=N-2,M{h}_2^{\overrightarrow{0}}(\overrightarrow{0})=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{m}$，且 $\pi \in M_2$，即 $\pi$ 是一个正则序数。

Arai 给出了如下的结论。

定理 1 $b+c\in H_a[\mathrm{\Theta }](d)\Rightarrow c\in H_a[\mathrm{\Theta }](d)$，且 ${\omega }^c\in H_a[\mathrm{\Theta }](d)\Rightarrow c\in H_a[\mathrm{\Theta }](d)$。

定理 2 每个 $x=H_a(y)(a<\mathrm{\Lambda },y<\mathbb{𝕂}),x={\psi }_{\kappa }a,x\in M{h}_k^{\alpha }(\xi )$ 和 $x={\psi }_{\kappa }^{\xi }(a)$ 均为 ZFL 中的不动点处的 ${\mathrm{\Sigma }}_1$-谓词。

定理 3

(1) $\mathrm{\forall }a<\mathrm{\Lambda }A(a)$。

(2) 对于弱不可达基数 $\pi \le \mathbb{𝕂}$ 和 $a,\xi$，$\pi \in M{h}_k^{\alpha }(\xi )$ 是 $L_{\pi }$ 上的一致 ${\mathrm{\Pi }}_{k-1}^1$ 类。这意味着对于每个 $k$，存在一个 ${\mathrm{\Pi }}_{k-1}^1$ 公式 $m{h}_k^{\alpha }(x)$，当且仅当 $L_{\pi }\models m{h}_k^{\alpha }(\xi )$，对于任何弱不可达基数 $\pi \le \mathbb{𝕂}$，且 $f(\{a\}\cup K(\xi ))\subset L_{\pi }$，$\pi \in M{h}_k^{\alpha }(\xi )$。

(3) $\mathbb{𝕂}\in M{h}_{N-1}^{\alpha }(\mathrm{\Lambda })\cap M_{N-1}(M{h}_{N-1}^{\alpha }(\mathrm{\Lambda }))$。

下面讨论记号的正规形式。

定理 4 $\pi \in M{h}_k^a(\zeta )\wedge \xi \le \zeta \Rightarrow \pi \in M{h}_k^a(\xi )$。

定理 5 假设 $\mathbb{𝕂}\ge \pi \in M{h}_k^a(\xi )\cap M{h}_{k+1}^a({\xi }_0)$ 其中 $2\le k\le N-1$, $he(\mu )\le {\xi }_0$ 和 $\{a\}\cup K(\mu )\subset H_a(\pi )$。则 $\pi \in M{h}_k^a(\xi +\mu )$ 成立。此外，如果 $\pi \in M_{k+1}$，则 $\pi \in M_{k+1}(M{h}_k^a(\xi +\mu ))$ 成立。

定义 3 对于序数序列 $\tilde{\zeta }=({\xi }_k,\dots ,{\xi }_{N-1}),\tilde{\nu }=({\nu }_k,\dots ,{\nu }_{N-1})$ 以及 $2\le k,m,n\le N-1$，$M{h}_m^a(\tilde{\nu }){<}_{k}M{h}_n^a(\tilde{\zeta }):\iff \mathrm{\forall }\pi \in M{h}_n^a(\tilde{\zeta })(\{a,\pi \}\cup K(\tilde{\nu })\subset H_a(\pi )\Rightarrow \pi \in M_k(M{h}_m^a(\tilde{\nu })))$

定理 6 令 $\tilde{\nu }=({\nu }_2,\dots ,{\nu }_{N-1}),\tilde{\zeta }=({\xi }_2,\dots ,{\xi }_{N-1})$ 为序数 $<\epsilon (\mathrm{\Lambda })$ 的序列，其中对于整数 $k$，有 $\tilde{\nu }{<}_k\tilde{\zeta }$，且 $2\le k\le N-1$。则 $M{h}_2^a(\tilde{\nu }){<}_{k}M{h}_2^a(\tilde{\zeta })$。特别是如果 $\pi \in M{h}_2^a(\tilde{\zeta })$ 且 $K(\tilde{\nu })\cup \{\pi ,a\}\subset H_a(\pi )$，则 ${\psi }_{\pi }^{\tilde{\nu }}(a)<\pi$。

定理 7 令 $\overrightarrow{\xi }=({\xi }_2,\dots ,{\xi }_{N-1})$ 为序数 $<\epsilon (\mathrm{\Lambda })$ 的序列，且 $\{\pi ,a\}\cup K(\overrightarrow{\xi })\subset H_a(\pi )$。假设 $Tl({\xi }_i)<{\mathrm{\Lambda }}_k({\xi }_{i+k}+1)$，其中 $i<N-1$ 且 $k>0$。然后 $\pi \in M{h}_2^9(\overrightarrow{\xi })\iff \pi \in M{h}_2^9(\overrightarrow{\mu })$，其中 $\overrightarrow{\mu }=({\mu }_2,\dots ,{\mu }_{N-1})$，且 ${\mu }_i={\xi }_i-Tl({\xi }_i)$ 和 ${\mu }_j={\xi }_j$，其中 $j\ne i$。

定义 4 序数序列 $\overrightarrow{\xi }=({\xi }_2,\dots ,{\xi }_{N-1})$ 称为不可约的，当且仅当 $\mathrm{\forall }i<N-1,\mathrm{\forall }k>0({\xi }_i>0\Rightarrow Tl({\xi }_i)\ge {\mathrm{\Lambda }}_k({\xi }_{i+k}+1))$。

定理 8 令 $\overrightarrow{\nu }=({\nu }_k,\dots ,{\nu }_{N-1})\ne \overrightarrow{0}$ 为不可约序列，$k_0\ge k$ 为满足 ${\nu }_{k_0}\ne 0$ 的最小数。设 ${\nu }_{k_0}<h{e}^{(k_0-k)}(\overrightarrow{\xi })$。则 $\overrightarrow{\nu }<\overrightarrow{\xi }$。

定义 5 令 $\overrightarrow{\xi }=({\xi }_k,\dots ,{\xi }_{N-1})$，$\overrightarrow{\nu }=({\nu }_k,\dots ,{\nu }_{N-1})$ 且 $\overrightarrow{\nu }\ne \overrightarrow{\xi }$。令 $i\ge k$ 为使 ${\nu }_i\ne {\xi }_i$ 的最小数。假设 $({\xi }_i,\dots ,{\xi }_{N-1})\ne \overrightarrow{0}$，令 $k_1\ge i$ 为使 ${\xi }_{k_1}\ne 0$ 的最小数，则 $\overrightarrow{\nu }{<}_{lx,k}\overrightarrow{\xi }$ 当且仅当下列之一成立：

(1) $({\nu }_i,\dots ,{\nu }_{N-1})=\overrightarrow{0}$。

(2) 接下来假设 $({\nu }_i,\dots ,{\nu }_{N-1})\ne \overrightarrow{0}$，并让 $k_0\ge i$ 为满足 ${\nu }_{k_0}\ne 0$ ($i=\min \{k_0,k_1\}$) 的最小数，则 $\overrightarrow{\nu }{<}_{lx,k}\overrightarrow{\xi }$ 当且仅当下列之一成立：

(2a) $i=k_0<k_1$ 且 $h{e}^{(k_1-k_0)}({\nu }_{k_0})\le {\xi }_{k_1}$。

(2b) $k_0\ge k_1=i$ 且 ${\nu }_{k_0}<h{e}^{(k_0-k_1)}({\xi }_{k_1})$。

定理 9 设 $\overrightarrow{\nu }$ 和 $\overrightarrow{\xi }$ 都是不可约的，则 $\overrightarrow{\nu }{<}_{lx,k}\overrightarrow{\xi }\Rightarrow M{h}_k^a(\overrightarrow{\nu }){<}_{k}M{h}_k^a(\overrightarrow{\xi })$。

定理 10 令 $\overrightarrow{\nu }=({\nu }_2,\dots ,{\nu }_{N-1})$，$\overrightarrow{\xi }=({\xi }_2,\dots ,{\xi }_{N-1})$ 为不可约序数序列 $<\epsilon (\mathrm{\Lambda })$，并假设 ${\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(b)<\pi$ 和 ${\psi }_{\kappa }^{\overrightarrow{\xi }}(a)<\kappa$。则 ${\beta }_1={\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(b)<{\psi }_{\kappa }^{\overrightarrow{\xi }}(a)={\alpha }_1$ 当且仅当以下情况之一成立：

(1) $\pi \le {\psi }_{\kappa }^{\overrightarrow{\xi }}(a)$。

(2) $b<a,{\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(b)<\kappa$ 且 $K(\overrightarrow{\nu })\cup \{\pi ,b\}\subset H_a({\psi }_{\kappa }^{\overrightarrow{\xi }}(a))$。

(3) $b>a$ 且 $K(\overrightarrow{\xi })\cup \{\kappa ,a\}\subset ̸H_b({\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(b))$。

(4) $b=a,\kappa <\pi$ 且 $\kappa \notin H_b({\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(b))$。

(5) $b=a,\pi =\kappa ,K(\overrightarrow{\nu })\subset H_a({\psi }_{\kappa }^{\overrightarrow{\xi }}(a))$，且 $\overrightarrow{\nu }{<}_{lx,2}\overrightarrow{\xi }$。

(6) $b=a,\pi =\kappa ,K(\overrightarrow{\xi })\subset ̸H_b({\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(b))$。

定义 6 一个由序数 ${\xi }_i<\epsilon (\mathrm{\Lambda })$ 组成的序列 $\overrightarrow{\xi }=({\xi }_2,\dots ,{\xi }_{N-1})$ 的集合 $SD$ 递归定义如下。

(1) 对于每个 $a<\mathrm{\Lambda }$，$\overrightarrow{0}*(a)\in SD$。

(2) 令 $\overrightarrow{\xi }=({\xi }_2,\dots ,{\xi }_{N-1})\in SD$，$1\le k<N-1$，$\zeta <\epsilon (\mathrm{\Lambda })$ 为序数，满足 $({\xi }_{k+1},\dots ,{\xi }_{N-1}){<}_{sd}\zeta$，且 $({\xi }_2,\dots ,{\xi }_{k-1},\zeta )*\overrightarrow{0}\in SD$。然后对于 ${\zeta }_k={\xi }_k+\mathrm{\Lambda }{\zeta }_a$ 和一个序数 $a<\mathrm{\Lambda }$，$({\xi }_2,\dots ,{\xi }_{k-1})*({\zeta }_k)*({\xi }_{k+1},\dots ,{\xi }_{N-1})\in SD$ 以及 $({\xi }_2,\dots ,{\xi }_{k-1})*({\zeta }_k)*\overrightarrow{0}\in SD$。

定理 11 令 $\overrightarrow{\xi }=({\xi }_2,\dots ,{\xi }_{N-1})\in SD$。

(1) 对于每个 $i$，$({\xi }_2,\dots ,{\xi }_i)*\overrightarrow{0}\in SD$，其中 $1\le i<N$。

(2) 对于 $2\le i<j<k<N$，如果 ${\xi }_i\ne 0$ 且 ${\xi }_k\ne 0$，则 ${\xi }_j\ne 0$。

(3) 令 ${\xi }_i\ne 0$。则 $({\xi }_{i+1},\dots ,{\xi }_{N-1}){<}_{sd}te({\xi }_i)$。

(4) $\overrightarrow{\xi }$ 是不可约的。

对于序数折叠函数来说，相应的序数符号是重要的。接下来我们将研究算术的一个弱片段，例如片段 $I{\mathrm{\Sigma }}_1$ 或有界算术 $S_2^1$。符号 $\{0,\mathbb{𝕂},\mathrm{\Lambda },+,\omega ,\phi ,\mathrm{\Omega },\psi \}$ 上的序数项集 $OT\subset \mathrm{\Lambda }={\epsilon }_{\mathbb{𝕂}+1}$

以及 $E\subset \epsilon (\mathrm{\Lambda })={\epsilon }_{\mathbb{𝕂}+2}$ 可以以递归方式进行定义。$OT$ 同构于 $H_A(0)$ 的一个子集。同时我们定义有限集 $K_{\delta }(\alpha )\subset OT$（其中 $\delta ,\alpha \in OT$）和序列 $(m_k(\alpha ){)}_{2\le k\le N-1}$（其中 $\alpha \in OT\cap \mathbb{𝕂}$），其中在 $\alpha ={\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a)$ 中，$m_k(\alpha )={\nu }_k$，即 $\overrightarrow{\nu }=({\nu }_2,\dots ,{\nu }_{N-1})=(m_2(\alpha ),\dots ,m_{N-1}(\alpha ))=(m_k(\alpha ){)}_k=\overrightarrow{m}(\alpha )$

对于 $\{{\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_m,\beta \}\subset OT$，我们有 $K_{\delta }({\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_m):=\bigcup _{i\le m}{K}_{\delta }({\alpha }_i),K_{\delta }({\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_m)<\beta :\iff \mathrm{\forall }\gamma \in K_{\delta }({\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_m)(\gamma <\beta )$ 且 $\beta \le K_{\delta }({\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_m):\iff \mathrm{\exists }\gamma \in K_{\delta }({\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_m)(\beta \le \gamma )$

如果 $OT$ 中的序数项是形式为 $\mathbb{𝕂},{\mathrm{\Omega }}_{\beta +1}$ 或 ${\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a)$ 且非零序列 $\overrightarrow{\nu }\ne \overrightarrow{0}$ 的项，则称其为正则项。$\mathbb{𝕂}$ 和后面的项 ${\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a)$ 都是 Mahlo 项。

$\alpha {=}_{NF}{\alpha }_m+\cdots +{\alpha }_0$ 表示 $\alpha ={\alpha }_m+\cdots +{\alpha }_0$ 和 ${\alpha }_m\ge \cdots \ge {\alpha }_0$ 且每个 ${\alpha }_i$ 都是非零加法主数。$\alpha {=}_{NF}\phi \beta \gamma$ 表示 $\alpha =\phi \beta \gamma$ 且 $\beta ,\gamma <\alpha$。$\alpha {=}_{NF}{\omega }^{\beta }$ 表示 $\alpha ={\omega }^{\beta }>\beta$。$\alpha {=}_{NF}{\mathrm{\Omega }}_{\beta }$ 表示 $\alpha ={\mathrm{\Omega }}_{\beta }>\beta$。

令 $pd({\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a))=\pi$（即使 $\overrightarrow{\nu }=\overrightarrow{0}$）。此外，对于 $np{d}^{(n)}(\alpha )$ 由 $p{d}^{(0)}(\alpha )=\alpha$ 和 $p{d}^{(n+1)}(\alpha )\simeq pd(p{d}^{(n)}(\alpha ))$ 递归定义。

对于项 $\pi ,\kappa \in OT$，$\pi \prec \kappa$ 表示关系 $\{(\pi ,\kappa ):\mathrm{\exists }\xi \mathrm{\exists }b[\pi ={\psi }_{\kappa }^{\overrightarrow{\xi }}(b)]\}$ 的传递闭包，以及其自反闭包 $\pi ⪯\kappa :\iff \pi \prec \kappa \vee \pi =\kappa \iff \mathrm{\exists }n(\kappa =p{d}^{(n)}(\pi ))$。

对于每个序数项 $\alpha ={\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a)$，序数项序列 $({\pi }_i{)}_{i\le L}$ 唯一确定如下：${\pi }_L=\alpha ,{\pi }_i=pd({\pi }_{i+1})$ 和 ${\pi }_0=\mathbb{𝕂}$。我们将序列 $({\pi }_i{)}_{i\le L}$ 称为 $\alpha ={\pi }_L$ 的折叠序列。

下面我们将构建序数项 $\alpha ={\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a)$。

定义 7 $\ell \alpha$ 表示符号 $\{0,\mathbb{𝕂},\mathrm{\Lambda },+,\omega ,\phi ,\mathrm{\Omega },\psi \}$ 在项 $\alpha \in OT\cup E$ 中出现的次数。

(1a) $0\in E$。

(1b) 如果 $0<a\in OT$，则 $a\in E.K(a)=\{a\}$。

(1c) 如果 $\{{\xi }_i:i\le m\}\subset E,{\xi }_m>\cdots >{\xi }_0>0$ 且 $0<b_i\in OT$，则 $\sum _{i\le m}{\mathrm{\Lambda }}^{{\xi }_i}{b}_i={\mathrm{\Lambda }}^{{\xi }_m}{b}_m+\cdots +{\mathrm{\Lambda }}^{{\xi }_0}{b}_0\in EK\left(\sum _{i\le m}{\mathrm{\Lambda }}^{{\xi }_i}{b}_i\right)=\{b_i:i\le m\}\cup \bigcup \{K({\xi }_i):i\le m\}$。

(1d) 对于序列 $\overrightarrow{\nu }=({\nu }_2,\dots ,{\nu }_{N-1})$，令 $K(\overrightarrow{\nu })=\bigcup _{2\le i\le N-1}K({\nu }_i)$。

(2a) 对于任意 $k,0,\mathbb{𝕂}\in OT.m_k(0)=0$，且 $K_{\delta }(0)=K_{\delta }(\mathbb{𝕂})=\varnothing$。

(2b) 如果 $\alpha {=}_{NF}{\alpha }_m+\cdots +{\alpha }_0(m>0)$，且 $\{{\alpha }_i:i\le m\}\subset OT$，则 $\alpha \in OT$，且对于任意 $k$，$m_k(\alpha )=0$。$K_{\delta }(\alpha )=K_{\delta }({\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_m)$。

(2c) 如果 $\alpha {=}_{NF}\phi \beta \gamma$ 且 $\{\beta ,\gamma \}\subset OT\cap \mathbb{𝕂}$，则 $\alpha \in OT$，且对于任何 $k$，$m_k(\alpha )=0$。$K_{\delta }(\alpha )=K_{\delta }(\beta ,\gamma )$。

(2d) 如果 $\alpha {=}_{NF}{\omega }^{\beta }$ 且 $\mathbb{𝕂}<\beta \in OT$，则 $\alpha \in OT$，且对于任何 $k$，$m_k(\alpha )=0$。$K_{\delta }(\alpha )=K_{\delta }(\beta )$。

(2e) 如果 $\alpha {=}_{NF}{\mathrm{\Omega }}_{\beta }$ 且 $\beta \in OT\cap \mathbb{𝕂}$，则如果 $\beta$ 是后继序数，则对于任何 $k>2$，$\alpha \in OT.m_2(\alpha )=1,m_k(\alpha )=0$。否则对于任何 $k$，$m_k(\alpha )=0$。在每种情况下，$K_{\delta }(\alpha )=K_{\delta }(\beta )$。

(2f) 令 $\alpha ={\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a):={\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{0}}(a)$，其中 $\pi$ 为正则项，即，要么是 $\pi =\mathbb{𝕂}$，要么 $\overrightarrow{m}(\pi )\ne \overrightarrow{0}$，且 $K_{\alpha }(\pi ,a)<a$。则 $\alpha ={\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a)\in OT$。对于任意 $k$，令 $m_k(\alpha )=0$。若 $\alpha <\delta$，则 $K_{\delta }({\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a))=\varnothing$。否则，$K_{\delta }({\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a))=\{a\}\cup K_{\delta }(a,\pi )$。

(2g) 令 $\alpha ={\psi }_{\mathbb{𝕂}}^{\overrightarrow{\nu }}(a)$，其中 $\overrightarrow{\nu }=\overrightarrow{0}*(b)(\text{lh}(\overrightarrow{\nu })=N-2)$，且 $b,a\in OT$，使得 $0<b\le a$ 且 $K_{\alpha }(b,a)<a$。则 $\alpha ={\psi }_{\mathbb{𝕂}}^{\overrightarrow{\nu }}(a)\in OT$。令 $m_{N-1}(\alpha )=b{m}_k(\alpha )=0$，其中 $k<N-1$。若 $\alpha <\delta$，则 $K_{\delta }({\psi }_{\mathbb{𝕂}}^{\overrightarrow{\nu }}(a))=\varnothing$。否则，$K_{\delta }({\psi }_{\mathbb{𝕂}}^{\overrightarrow{\nu }}(a))=\{a\}\cup \bigcup \{K_{\delta }(\gamma ):\gamma \in K(\overrightarrow{\nu })\}$。

(2h) 设 $\pi \in OT\cap \mathbb{𝕂}$ 使得 $m_{k+1}(\pi )\ne 0$ 且 $\mathrm{\forall }i>k+1(m_i(\pi )=0)$（其中 $ak(2\le k\le N-2)$），以及 $b,a\in OT$ 使得 $0<b\le a$。设 $\overrightarrow{\nu }=({\nu }_2,\dots ,{\nu }_{N-1})$ 为由 $\mathrm{\forall }i<k({\nu }_i=m_i(\pi )),{\nu }_k=m_k(\pi )+\mathrm{\Lambda }{m}_{k+1}(\pi )b$ 和 $\mathrm{\forall }i>k({\nu }_i=0)$ 定义的序列。然后如果 $K_{\alpha }(\pi ,a,b)\cup K_{\alpha }(K(\overrightarrow{m}(\pi )))<a$，则 $\alpha ={\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a)\in OT$。对于每个 $i$，令 $m_i(\alpha )={\nu }_i$。如果 $\alpha <\delta$，则 $K_{\delta }({\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a))=\varnothing$。否则 $K_{\delta }({\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a))=\{a\}\cup K_{\delta }(a,\pi )\cup \bigcup \{K_{\delta }(b):b\in K(\overrightarrow{\nu })\}$。

(2i) 令 $\pi \in OT\cap \mathbb{𝕂}$ 使得 $m_2(\pi )\ne 0$ 且 $\mathrm{\forall }i>2(m_i(\pi )=0)$，以及 $a\in OT$。令 $\overrightarrow{0}\ne \overrightarrow{\nu }=({\nu }_2,\dots ,{\nu }_{N-1})\in SD$ 为序数项序列 ${\nu }_i\in E$，使得 $\overrightarrow{\nu }{<}_{sp}{m}_2(\pi )$。然后如果 $K_{\alpha }(\pi ,a)<a$，并且 $\mathrm{\forall }k(K_{\alpha }({\nu }_k)<\max K({\nu }_k))$。对于每个 $i$，令 $m_i(\alpha )={\nu }_i$。如果 $\alpha <\delta$，则 $K_{\delta }({\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a))=\varnothing$。否则 $K_{\delta }({\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a))=\{a\}\cup K_{\delta }(a,\pi )\cup \bigcup \{K_{\delta }(b):b\in K(\overrightarrow{\nu })\}$。

设 $\{\pi ,a,\xi \}\subset H_a(\pi )$。则 $\xi =m_k(\pi )$ 等价于 $\pi \in M{h}_k^{\xi }(\xi )$。

我们给出如下结论：

定理 12 对于每个 Mahlo 项 $\alpha ={\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a)\in OT,\overrightarrow{m}(\alpha )=\overrightarrow{\nu }\in SD$。

定理 13 对于任何 $\alpha \in OT$ 和任何 $\delta$，使得 $\delta =0,\mathbb{𝕂}$ 或 $\delta ={\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(b)$，其中某个 $\pi ,b,\overrightarrow{\nu },\alpha \in H_{\gamma }(\delta )\iff K_{\delta }(\alpha )<\gamma$。

定理 14 $(OT,<)$ 是可计算的序数符号系统。特别是，初始段 $\{\alpha \in OT:\alpha <{\mathrm{\Omega }}_1\}$ 的序类型小于 ${\omega }_1^{CK}$。

具体来说，对于 $\alpha ,\beta \in OT,\alpha <\beta$ 和 $\alpha =\beta$ 都是可判定的，而对于符号 $\{0,\mathbb{𝕂},\mathrm{\Lambda },+,\omega ,\phi ,\mathrm{\Omega },\psi \}$ 上的项 $\alpha$，$\alpha \in OT$ 是可判定的。

定理 15

(a) 令 $\beta ={\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(b)$ 且 $\pi ={\psi }_{\kappa }^{\overrightarrow{\xi }}(a)$。则 $a<b$。

(b) 对于 $\alpha ={\psi }_{\pi }^{\overrightarrow{\nu }}(a)\in OT\max K(\overrightarrow{\nu })\le a$ 成立。