AOCF

Arai's Ordinal Collapse Function（AOCF）是一种类序数坍缩函数。

系统与公理

$Σ_{N + 2}^{1} -AC+BI$ 表示一个二阶算术系统，它由 $Π_{1}^{1} - C A_{0} + B I$ 加入公理 $Σ_{N + 2}^{1} -AC$ 得到： $\forall n \exists X F (n, X) \to \exists Y \forall n F (n, Y_{n})$ ，其中 $F (n, X)$ 是任意的 $Π_{N + 2}^{1}$ -公式。

$Σ_{N + 2}^{1} -DC+BI$ 表示一个二阶算术系统，它由 $Π_{1}^{1} - C A_{0} + B I$ 加入公理 $Σ_{N + 2}^{1} -DC$ 得到： $\forall n \forall X \exists Y F (n, X, Y) \to \forall X_{0} \exists Y \forall n [Y_{0} = X_{0} \land F (n, Y_{n}, Y_{n + 1})]$ ，其中 $F (n, X, Y)$ 是任意的 $Π_{N + 1}^{1}$ -公式， $m \in Y_{n} \Rightarrow (n, m) \in Y$ ，且 $(\cdot, \cdot)$ 是一个双射配对函数。容易看出，公理中的公式 $F$ 可以是 $Σ_{N + 2}^{1}$ -公式。

集合论 $K P ω + Π_{N} -Collection + (V = L)$ 的公理由 $K P ω$ （带无穷公理的 Kripke-Platek 集合论）的公理加上以下公理组成：

可构成公理 $V = L$

$Π_{N} -Collection$ 公理：对于任意 $Π_{N}$ -公式 $A (x, y)$ ， $\forall x \in a \exists y A (x, y) \to \exists b \forall x \in a \exists y \in b A (x, y)$

$Σ_{N} -Separation$ 公理：对于任意 $Σ_{N}$ -公式 $φ (x)$ ， $\exists y \forall x (x \in y \to x \in a \land φ (x))$
$Δ_{N + 1} -Separation$ 公理：对于任意 $Σ_{N + 1}$ -公式 $φ (x)$ 和 $ψ (x)$ ， $\forall x \in a (φ (x) \to \neg ψ (x)) \to \exists y \forall x (x \in y \to x \in a \land φ (x))$
$Σ_{N + 1} -Replacement$ 公理：如果 $\forall x \in a \exists! y φ (x, y)$ ，那么存在一个函数 $f$ ，其定义域 $d o m (f) = a$ ，使得 $\forall x \in a φ (x, f (x))$ 对每个 $Σ_{N + 1}$ -公式 $φ (x, y)$ 成立。

$Π_{N} -Collection$ 公理

引理 2.1

引理 2.1 $K P ω + Π_{N} -Collection$ 可证以下每一条：

$Σ_{N} -Separation$
$Δ_{N + 1} -Separation$
$Σ_{N + 1} -Replacement$

证明我们将证明对于 $Σ_{N}$ -公式 $φ \equiv \exists y θ (x, y)$ （其中 $θ$ 是 $Π_{N - 1}$ -公式），集合 ${x \in a : φ (x)}$ 存在。由逻辑知， $\forall x \in a \exists y (\exists z θ (x, z) \to θ (x, y))$ 成立。应用 $Π_{N} -Collection$ ，我们可以找到一个集合 $b$ ，使得 $\forall x \in a \exists y \in b (φ (x) \to θ (x, y))$ 。换句话说， ${x \in a : φ (x)} = {x \in a : \exists y \in b θ (x, y)}$ 。

$Δ_{N + 1} -Separation$ 可以从 $Σ_{N} -Separation$ 推得，证明方法参见文献 [3] 第 17 页定理 4.5（∆-分离公理）。

$Σ_{N + 1} -Replacement$ 可以从 $Δ_{N + 1} -Separation$ 推得，证明方法参见文献 [3] 第 17 页定理 4.6（Σ-替代公理）。

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引理 2.1 的一些解释

Q: collection是任意x∈A存在y φ(x,y)→存在B 任意x∈A 存在y∈B φ(x,y) 并不能够保证B里面没有多余的元素所以真的能推出separation吗？collection并不能够保证没有多余的元素只能保证想要的元素都在里面

A: 应用Πn-Collection后得到的集合b确实可能包含多余的元素（即，对于某些x ∈ a，b中可能包含y使得θ(x, y)不成立，但这些y不影响最终的集合等价性）。给定Σn公式φ(x) ≡ ∃y θ(x, y)，其中θ是Π_{n-1}公式。通过逻辑等价，有∀x ∈ a ∃y (φ(x) → θ(x, y))。应用Πn-Collection后，存在集合b，使得∀x ∈ a ∃y ∈ b (φ(x) → θ(x, y))。这导致{x ∈ a : φ(x)} = {x ∈ a : ∃y ∈ b θ(x, y)}。分析φ(x)的真假行为：如果φ(x)为真：则存在y使得θ(x, y)成立，因此∃y ∈ b θ(x, y)也为真（因为b包含了必要的见证y）；如果φ(x)为假：则对所有y，θ(x, y)都不成立，因此∃y ∈ b θ(x, y)也为假（即使b中有多余的y，但θ(x, y)对这些y都不成立）。因此，φ(x)为真当且仅当∃y ∈ b θ(x, y)为真，这意味着： ${x \in a : ϕ (x)} = {x \in a : \exists y \in b θ (x, y)}$ 。等价性成立，无论b中是否有多余元素。多余元素不影响集合定义，因为集合只关心是否存在y ∈ b满足θ(x, y)，而不关心b中是否有不相关的y。

Q: ∏ncoll+Δ0sep→∑nsep?所以{x∈a 存在y∈b θ(x,y)}为什么不需要∏_(n-1)-sep?

A: 在证明中，集合{x ∈ a : ∃y ∈ b θ(x, y)}的形成并不显式需要Π_{n-1}-Separation。这是因为：公式ψ(x) ≡ ∃y ∈ b θ(x, y)具有有界量词（y ∈ b），且b是集合。θ是Π_{n-1}公式，因此ψ(x)在计算复杂度上是Σ_n公式（因为∃y ∈ b将复杂度提升至Σ_n，但有界量化）。在KPω + Πn-Collection的背景下，这个集合的形成可以通过现有公理（Δ0-Separation和Πn-Collection）完成，无需更强分离。具体形成方式：由于b是集合，我们可以考虑笛卡尔积a × b（在KP中，Δ0-Separation保证a × b存在）。定义关系： $R = {(x, y) \in a \times b : θ (x, y)}$ 。R的形成需要分离公理，但θ是Π_{n-1}公式，因此R的定义依赖于公式的复杂度。如果n = 1，θ是Δ0，则R可直接由Δ0-Separation形成。如果n > 1，则我们需要确保分离复杂度可处理。在KP中，Πn-Collection结合Δ0-Separation足以证明Σn-Separation（包括此步骤）。标准证明使用复杂度归纳：基始n=0：Σ0-Separation是Δ0-Separation，已包含在KP中；归纳步n>0：假设较低复杂度分离（如Σ_{k}-Separation for k < n）可用，则Σn-Separation可证。对于ψ(x) ≡ ∃y ∈ b θ(x, y)：它等价于{x ∈ a : ∃y (y ∈ b ∧ θ(x, y))}。由于y的量化有界于b，并且θ是Π_{n-1}，这个公式的复杂度受限于Σn。使用Δ0-Separation和集合a × b，我们可以间接定义R（必要时通过有界量词处理），然后投影得到域： ${x \in a : \exists y \in b θ (x, y)} = dom (R)$ 。在KP中，给定集合R（有序对的集合），dom(R)可以通过Δ0-Separation定义，因为量词"∃y ∈ b"有界，"θ(x, y)"的复杂度由Πn-Collection和较低分离处理。因此，在KPω + Πn-Collection中，集合{x ∈ a : ∃y ∈ b θ(x, y)}可以直接形成，无需额外Π_{n-1}-Separation。证明中的步骤是自洽的。

Q: 将y∈b变成x θ(x,y)然后将没有θ(x,y)的y变成0 然后再删掉0? 问题来了我们无法保证没有添加新的元素的所以如此收集也是有问题

A: 这个方法在理论上是可行的，但并不必要，原因如下：在集合论中，这种方法类似于使用替代公理（Replacement）定义一个部分函数：如果θ(x, y)成立，则映射y到x；否则映射到0。然后，移除0元素即可得到所需集合。但这需要显式的分离公理来形成中间集合（如{x : θ(x, y)}或{y : not θ(x, y)}），并可能引入复杂性。更重要的是，在KPω + Πn-Collection框架下，原有的证明已经通过有界量词和等价性简化了问题，无需此额外步骤。引入0或默认值反而可能增加不必要的复杂度。

引理 2.1.a $Σ_{2} -Collection$ 可证 $Π_{1} -Separation$

证明给定集合 $A$ 和 $Π_{1}$ -公式 $ψ (x) \equiv \forall y φ (x, y)$ ，其中 $φ$ 是 $Δ_{0}$ 。目标是证明集合 $S = {x \in A : \forall y φ (x, y)}$ 存在。

$ψ (x)$ 的否定是 $\neg ψ (x) \equiv \exists y \neg φ (x, y)$ ，这是一个 $Σ_{1}$ -公式。定义 $T = {x \in A : \exists y \neg φ (x, y)}$ 。这是 $S$ 的补集，因为 $S = {x \in A : \forall y φ (x, y)} = A ∖ {x \in A : \exists y \neg φ (x, y)} = A ∖ T$ 。因此，如果 $T$ 存在，则 $S = A ∖ T$ 可以通过差集得到。令 $θ (x, y) \equiv \neg φ (x, y)$ ， $θ$ 是 $Δ_{0}$ 。应用 $Σ_{1} -Collection$ ：考虑类，对每个 $x \in A$ ，如果 $\exists y θ (x, y)$ ，则存在这样的 $y$ 。 $Σ_{1} -Collection$ 保证：存在集合 $C$ ，使得对所有 $x \in A$ ，如果 $\exists y θ (x, y)$ ，则存在 $y \in C$ 使得 $θ (x, y)$ 成立。由 $Δ_{0} -Separation$ ，集合 $T$ 存在。因此差集 $S = A ∖ T = {x \in A : x \notin T}$ ，由 $Δ_{0} -Separation$ ，集合 $S$ 存在。

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引理 2.1.b $Σ_{N} -Separation$ 和 $Π_{N} -Separation$ 等价。

证明设 $φ (x)$ 是 $Π_{N}$ -公式， $\neg φ (x)$ 是 $Σ_{N}$ -公式。由 $Σ_{N} -Separation$ ，集合 ${x \in A : \neg φ (x)}$ 存在。则 ${x \in A : φ (x)} = A ∖ {x \in A : \neg φ (x)}$ ，由 $Δ_{0} -Separation$ ，差集存在。类似，设 $ψ (x)$ 是 $Σ_{N}$ -公式，则 $\neg ψ (x)$ 是 $Π_{N}$ 。由 $Π_{N} -Separation$ ， ${x \in A : \neg ψ (x)}$ 存在，则 ${x \in A : ψ (x)} = A ∖ {x \in A : \neg ψ (x)}$ ，由 $Δ_{0} -Separation$ 得到。因此， $Σ_{N} -Separation$ 和 $Π_{N} -Separation$ 在 $Δ_{0} -Separation$ 的系统中等价。

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引理 2.2 - 2.3

引理 2.2 对于每个 $Σ_{N + 1}^{1}$ -公式 $F (n, a, Y)$ ，存在集合论语言中的一个 $Σ_{N}$ -公式 $A_{Σ} (n, a, Y)$ ，使得对于定义的 $F_{Σ} (n, a, Y) : \Leftrightarrow \exists d [A d (d) \land Y \in d \land A_{Σ}^{d} (n, a, Y)]$ ，下列等价关系在系统 $K P l^{r}$ 中可证：

$K P l^{r} ⊢ n, a \in ω \land Y \subset ω \to {F^{s e t} (n, a, Y) \leftrightarrow F_{Σ} (n, a, Y)}$

引理 2.3 对于二阶算术语言中的每个句子 $A$ ，有：

$Σ_{N + 2}^{1} -DC + BI ⊢ A \Rightarrow KP ω + Π_{N} -Collection + (V = L) ⊢ A^{s e t}$

证明根据量词定理（定理 2.2），对于一个 $Π_{N + 1}^{1}$ -公式 $F (n, X, Y)$ （其中 $n \in ω, X \subset ω$ ），其集合论翻译 $F^{s e t} (n, X, Y)$ 等价于一个 $Π_{N}$ -公式 $φ (n, X, Y)$ 。现在只需证明如下结论：对于一个 $Π_{N}$ -公式 $φ (n, X, Y)$ ，如果假设 $\forall n \in ω \forall X \subset ω \exists Y \subset ω φ (n, X, Y)$ 成立且给定 $X_{0} \subset ω$ ，那么存在一个函数 $f$ 满足 $dom (f) = ω$ 且 $\forall n \in ω [f (0) = X_{0} \land ϕ (n, f (n), f (n + 1))]$ 。

在 (V = L) 的可构造宇宙公理下，我们通过归纳法证明：对于任意的 $k \in ω$ ，存在唯一的子集序列 $(Y_{n})_{n < k} \subset ω$ 使得 $\forall n < k [ϕ (n, Y_{n}, Y_{n + 1}) \land \forall Z <_{L} Y_{n + 1} \neg ϕ (n, Y_{n}, Z)]$ 成立。然后，利用 $Σ_{N + 1} -Replacement$ ，我们可以选取一个函数 $g$ 满足 $dom (g) = ω$ 且 $rng (g) \subset^{< ω} P (ω)$ ，使得对于任意 $k \in ω$ ， $g (k)$ 是那个唯一的序列 $(Y_{n})_{n < k} \in^{k} P (ω)$ ，并满足 $Y_{0} = X_{0}$ 。最后，定义函数 $f (n) = (g (n + 1)) (n)$ 即为所求的函数。

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引入 $S_{𝕀_{N}}$

接下来我们证明 $KP ω + Π_{N} -Collection + (V = L)$ 包含于一个集合论理论 $S_{𝕀_{N}}$ 。理论 $S_{𝕀_{N}}$ 的语言为 ${\in, Ω} \cup {S t_{i} ∣ 0 < i \leq N}$ ，其中 $S t_{i}$ 是一元谓词常元， $Ω$ 是个体常元。 $S t_{i} (α)$ 表示 $α$ 是 $i$ -稳定序数， $Ω$ 表示最小的递归正则序数 $ω_{C K}^{1}$ 。 $S_{𝕀_{N}}$ 的公理由 $KP ω$ 的公理添加以下公理得到。这里， $Δ_{0} ({S t_{i} ∣ 0 < i < k})$ -公式指语言 $L_{k} = {\in, Ω} \cup {S t_{i} ∣ i < k}$ 中的有界公式。

记 $O N$ 为所有序数的类。对序数 $α$ ， $α^{† i}$ 表示大于 $α$ 的最小 $i$ -稳定序数。一个后继 $i$ -稳定序数是指形如 $α^{† i}$ 的序数（其中 $α$ 为任意序数）。注意，最小的 $i$ -稳定序数 $0^{† i}$ 是一个后继 $i$ -稳定序数。定义 $S S t_{i} (α) ⟺ \exists β (α = β^{† i}), L S t_{i} (α) ⟺ \forall β < α (β^{† i} < α) (α > 0)$ 。

$S_{𝕀_{N}}$ 的公理：

构造性公理 $V = L$ ，以及关于 $Ω$ 递归正则性的公理： $Ω \in O N$ ， $ω < Ω$ ，且 $Ω$ 上的 $Δ_{0}$ -收集公理模式。
$Δ_{0} ({S t_{i} ∣ 0 < i \leq N})$ -收集公理：对每个 $Δ_{0} ({S t_{i} ∣ 0 < i \leq N})$ -公式 $θ$ （允许出现谓词 $S t_{i}$ ），有： $\forall x \in a \exists y θ (x, y) \to \exists b \forall x \in a \exists y \in b θ (x, y)$ 。注记： $Σ_{1} ({S t_{i} ∣ 0 < i \leq N})$ -收集公理可由该公理推出。
$\forall α \exists κ [α < κ \land S t_{N} (κ)] (1)$
对每个 $i + 1 \leq N$ ， $S S t_{i + 1} \subset L S t_{i} \cap S t_{i}$ ： $S t_{i + 1} (𝕊) \to [\forall α < 𝕊 \exists σ < 𝕊 (α < σ \land S t_{i} (σ))] \land S t_{i} (𝕊) (2)$ 。其中 $S t_{0} (x) ⟺ (x = x)$ 。这里 $α^{† i} > α$ 表示大于 $α$ 的最小 $i$ -稳定序数（ $0 < i \leq N$ ）。
对 $0 < i \leq N$ ，每个后继 $i$ -稳定序数 $σ$ 满足 $L_{σ} ≺_{Σ_{1} ({S t_{j} ∣ j < i})} L$ ： $S S t_{i} (σ) \land φ (u) \land u \in L_{σ} \to φ^{L_{σ}} (u) (3)$ ，其中 $φ$ 是语言 $ℒ_{i} = {\in, Ω} \cup {S t_{j} ∣ j < i}$ 中的 $Σ_{1} ({S t_{j} ∣ j < i})$ -公式。

引理 2.4-2.5

引理 2.4 在 $S_{𝕀_{N}}$ 中可证：对每个 $i$ -稳定序数 $σ$ ，有 $L_{σ} ≺_{Σ_{i}} L$ ，即 $SIN ⊢ {St}_{i} (σ) \land u \in L_{σ} \to [φ^{L_{σ}} (u) \leftrightarrow φ (u)]$ ，其中 $φ$ 为集合论 $Σ_{i}$ -公式。

证明在 $S_{𝕀_{N}}$ 中展开论证。首先证明：对语言 $ℒ_{i}$ 中 $Π_{1} ({S t_{j}}_{j < i})$ -公式 $φ$ ，有 $S t_{i} (σ) \land u \in L_{σ} \land φ (u) \to φ^{L_{σ}} (u) (4)$ 。通过关于 $σ \leq α$ 的超限归纳法证明： $φ^{L_{α}} (u) \to φ^{L_{σ}} (u)$ 。根据归纳假设，不妨设 $α$ 为后继序数。由公理 (1)(2)，存在 $i$ -稳定序数 $τ$ 使得 $τ < α < τ_{i}^{†}$ 。此时 $φ^{L_{τ_{i}^{†}}} (u)$ 、 $u \in L_{τ}$ 且 $σ \leq τ$ 成立。由公理 (3) 得 $φ^{L_{τ}} (u)$ ，再由归纳假设得 $φ^{L_{σ}} (u)$ 。故 (4) 得证。特别地，对 1-稳定序数 $σ$ ，有 $L_{σ} ≺_{Σ_{1}} L$ 。

接下来定义 $S t_{N + 1} (𝕀_{N}) : \Leftrightarrow (0 = 0)$ ，并设 $θ^{L_{𝕀_{N}}} (u) : \Leftrightarrow θ$ 。进一步证明：对 $0 \leq i < k \leq N + 1$ 及 $Π_{1} ({S t_{j}}_{j < i - 1})$ -公式 $θ (u)$ ，有 $S t_{k} (σ) \to [θ^{L_{σ}} (u) \leftrightarrow \exists κ < σ {S t_{i} (κ) \land u \in L_{κ} \land θ^{L_{κ}} (u)}] (5)$ 。假设 $S t_{k} (σ)$ 且 $θ^{L_{σ}} (u)$ 。由公理 (1)(2)，存在 $κ < σ$ 满足 $S t_{i} (κ)$ 且 $u \in L_{κ}$ ，从而 $θ^{L_{κ}} (u)$ 逻辑成立。反之，若存在 $κ < σ$ 满足 $S t_{i} (κ)$ 、 $u \in L_{κ}$ 且 $θ^{L_{κ}} (u)$ ，则由 (4) 得 $θ (u)$ ，进而 $θ^{L_{κ}} (u)$ 成立。

设 $φ (u) \in Σ_{1 + n} ({S t_{j}}_{j < i})$ 且 $S t_{i + n} (σ)$ （ $u \in L_{σ}$ ）。通过关于 $n$ 的归纳，由 (5) 可知存在 $Σ_{1} ({S t_{j}}_{j < i + n})$ -公式 $θ$ ，使得 $φ^{L_{σ}} \leftrightarrow θ^{L_{σ}}$ 且 $φ \leftrightarrow θ$ 。

现在证明：当 $0 \leq n < N$ 、 $S t_{1 + n} (σ)$ 、 $φ \in Σ_{1 + n}$ 且 $u \in L_{σ}$ 时， $φ^{L_{σ}} (u) \leftrightarrow φ (u)$ 。假设 $φ^{L_{σ}} (u)$ 。取 $Σ_{1} ({S t_{j}}_{j < n})$ -公式 $θ$ ，使得 $φ^{L_{σ}} (u) \leftrightarrow θ^{L_{σ}} (u)$ 且 $φ (u) \leftrightarrow θ (u)$ 。由 $θ (u)$ 逻辑成立，故 $φ (u)$ 成立。反之，假设 $φ (u)$ 。则 $θ (u)$ 成立，由 (4) 得 $θ^{L_{σ}} (u)$ ，从而 $φ^{L_{σ}} (u)$ 成立。

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引理 2.5 $S_{𝕀_{N}}$ 是 $KP ω + Π_{N} -Collection + (V = L)$ 的一个扩张。即， $S_{𝕀_{N}}$ 能证明 $Π_{N} -Collection$ 。

证明在 $S_{𝕀_{N}}$ 中展开论证。设 $A (x, y)$ 为语言中的 $Π_{N}$ -公式。由公理 (1) 和引理 2.4，我们可得

$A (x, y) \leftrightarrow \exists σ (S t_{n} (σ) \land x, y \in L_{σ} \land A^{L_{σ}} (x, y)) (6)$ 。假设 $\forall x \in a \exists y A (x, y)$ 。由 (6) 式，可推出 $\forall x \in a \exists y \exists σ (S t_{n} (σ) \land x, y \in L_{σ} \land A^{L_{σ}} (x, y))$ 。由于 $S t_{n} (σ) \land x, y \in L_{σ} \land A^{L_{σ}} (x, y)$ 是一个关于 ${S t_{i}}_{0 < i \leq n}$ 的 $Σ_{1}$ -公式，根据 $Δ_{0} -Collection$ （依赖于 ${S t_{i}}_{0 < i \leq n}$ ），存在集合 $c$ 使得 $\forall x \in a \exists y \in c \exists σ \in c (S t_{n} (σ) \land x, y \in L_{σ} \land A^{L_{σ}} (x, y))$ 。再由 (6) 式，即可得 $\forall x \in a \exists y \in c A (x, y)$ 。

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$Π_{N} -Collection$ 公理的序数系统

我们在集合论 $ZFC ({S t_{i}}_{0 < i \leq N})$ 中工作，其中每个 $S t_{i}$ 是一元谓词符号。

令 $S t_{0}$ 表示小于 $𝕀_{N}$ 的不可数基数集合。 $Ω < 𝕀_{N}$ 是强临界数，即满足以下条件的非零序数：其在二元 Veblen 函数 $φ α β = φ_{α} (β)$ 下封闭。我们假设：对所有 $i < N$ ，有 $S t_{i + 1} \subset S t_{i}$ ；每个 $S t_{i}$ 是小于 $𝕀_{N}$ 的序数的无界类； $S t_{i}$ 的最小元满足 $Ω < \min (⋃_{0 < i \leq N} S t_{i})$ 。谓词 $S t_{i}$ 等价于类 ${α \in O N : α \in S t_{i}}$ 。 $α^{† i}$ 表示大于 $α$ 的最小 $S t_{i}$ 中的序数（当 $α < 𝕀_{N}$ 时）；若 $α \geq 𝕀_{N}$ ，则定义为 $𝕀_{N}$ 。 $α^{†} : = α^{† 1}$ 。 $S S t_{i} : = {α^{† i} : α \in O N}, L S t_{i} : = S t_{i} ∖ S S t_{i}$ 。

序数 $α > 0$ 是强临界数当且仅当 $\forall b, ξ < α (φ_{b} (ξ) < α)$ 。 $Γ (α)$ 表示第 $a$ 个强临界数； $ε (α)$ 代表大于 $α$ 的最小 ε 数； $Γ (α)$ 代表大于 $α$ 的最小强临界数。

对序数 $α, β, γ$ ： $γ = α - β$ 表示 $α = β + γ$ ；

$α \dot{+} β$ 表示当 $α + β$ 等于交换和（自然和） $α # β$ 时的和（即 $α = 0$ ，或 $α = α_{0} + ω^{α_{1}}$ 且 $ω^{α_{1} + 1} > β$ ）。

变量约定： $u, v, w, x, y, z, \dots$ 代表集合； $a, b, c, α, β, γ, δ, \dots$ 代表小于 $ε (𝕀_{N})$ 的序数； $ξ, ζ, η, \dots$ 代表小于 $Γ (𝕀_{N})$ 的序数； $π, κ, ρ, σ, τ, λ, \dots$ 代表小于等于 $𝕀_{N}$ 的序数。

对 $𝕊 \in S t_{i} (i > 0)$ ，序数 $π < 𝕊$ 的马洛度 $m (π)$ 是一个有限函数 $f : 𝕀_{N} \to φ_{𝕀_{N}} (0)$ 。

设 $Λ < 𝕀_{N}$ 为强临界数。为表示小于 $φ_{Λ} (0)$ 的序数，引入序数函数： ${\tilde{θ}}_{b} (ξ; Λ) < φ_{𝕀_{N}} (0)$ （其中 $ξ < φ_{Λ} (0), b < Λ$ ），该函数第 $b$ 个是以 $Λ$ 为底的指数迭代，其中 ${\tilde{θ}}_{1} (ξ; Λ) = Λ^{ξ}$ 。