序数记号

序数记号是大数数学最常用的表示序数的方法。它是一种用有限的符号系统表示序数的数学工具，其核心是建立序数到表达式构成的集合的双射。PrSS，BMS，1-Y，Veblen 函数等都是序数记号。

序数记号与大数记号的主要区别是前者用于输出大序数，后者用于直接输出大数。然而由于整数大数也都是序数，所以序数记号更规范的表达应该是“超限序数记号”。

基本构成

序数记号由三部分构成：表达式集，展开规则，极限基本列

表达式集是序数记号定义的一部分，对于一个序数记号，如果一个表达式属于表达式集，则称为合法表达式，简称合法式。只有合法式可以根据展开规则进行操作。

展开规则是序数记号的核心，需要满足以下三个性质：

• 需要将合法式分为三类：零表达式，后继表达式，极限表达式，并且能根据规则判断出给定的合法式是哪一类。
• 对于给定的后继表达式 a，需要根据规则给出另一合法式 b，b 作为 a 的前驱，或称 a 是 b 的后继。
• 对于给定的极限表达式 c，需要根据规则给出一个 ω 长的合法式序列。这个序列称为 c 的基本列。

极限基本列是一个 ω 长的合法式构成的序列。我们定义从极限基本列的任意一项开始，经过有限次取其基本列中成员和取前驱所能获得的表达式称为标准表达式，简称标准式。

序关系

在给定的序数记号中，定义序关系“≤”为：

如果一个合法式 a 能通过有限次（含 0 次）取基本列中成员和取前驱能得到合法式 b，则 b≤a。

序数记号必须满足其标准式集在 ≤ 上是良序的。在此基础上，我们就可以建立标准式集和序数的保序双射，从而让每个标准式对应唯一的一个序数。

注意事项

在一些具体的序数记号定义中，可能会看到“展开”这一字眼。实际上，它是对极限表达式取基本列的相对不严谨的一种表述。

比如在 PrSS 规则中，$0,1,2$“展开”为 $0,1,1,1,...$，实际上是在说表达式 $0,1,2$ 的基本列是 $0,1$，$0,1,1$，$0,1,1,1$，……

出现这种表述的原因是因为在 Worm 记号中，一个极限表达式的基本列的一项往往是它后面一项的子序列，因此这种表述方便理解。

类似的，在 Worm 记号中，序关系 ≤ 往往等价于字典序。但直接将字典序等同于序数记号的序是错误的，因为并非所有序数记号都满足这一点。

此外，类似Veblen 函数，OCF 等序数记号定义上实际上并不包含基本列的选取，但它们可以被转写为含有基本列选取的形式。