内模型

在集合论中，内模型（Inner Model）是指一个满足 ZFC 公理的传递类模型（即其元素关系在更广泛的宇宙中保持绝对），且包含所有序数(但是受Kunen定理限制，只能包含第一个莱茵哈特基数及以下的)。内模型是研究集合论基础问题（如大基数公理的一致性强度、独立性证明等）的核心工具之一，尤其在内模型计划（Inner Model Program）中扮演关键角色。

定义与性质

• 若 $M$ 是内模型，则对任意 $x\in M$ 和 $y\in x$，必有 $y\in M$
• ${\mathbf{𝐎}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐝}}^{V_{ZFC}}\subseteq M$，其中 $V_{ZFC}$ 是ZFC宇宙
• $M$ 满足 ZFC 的所有公理（在内部验证）

内模型可分为两类：

1. 经典内模型：如哥德尔的可构造宇宙 $L$，它是包含所有ZFC序数的最小内模型，且满足 $V=L$。但是，这个结论不一定成立，比如当可测基数存在的时候，会推导出存在不可构成集合，这个时候一定满足$V\ne L$。并且，当一个系统的宇宙大于全集$V$的时候，$V\ne L$也一定成立。因为假设这个时候$V=L$，就可以推导出$\mathrm{\forall }a(V_a=L_a)$(否则会出现其中一者后面的层级比前面的层级小的情况，这不可能)，但是因为可数个公式定义出来的东西是可数的，所以两者的ω+1层必须得是可数的，根据v的性质，不可能可数，所以一定不成立。
2. 精细内模型（Fine Structural）：如 Dodd-Jensen 核心模型、Mouse 等，通过迭代构造和比较定理（Comparison Theorem）技术，处理更复杂的大基数。以及一个更复杂的V[G]，这个时候宇宙可以包含同一个命题，不同成立角度的，理论上可以靠这个，满足$V_{ZFC}=V$(因为可以同时容纳AC和AC不成立的系统，不受定理限制)