传递模型

在集合论中，传递模型（或称传递结构，Transitive Model）是一种特殊的模型（结构），其元素的元素仍属于该模型。它是研究集合论公理（如 ZFC）及其独立性、内模型理论（Inner Model Theory）和力迫法（Forcing）的重要工具。

定义

一个传递模型通常指一个二元组 $(M,\in M)$，其中 $M$ 是一个集合或真类，$\in M$ 是 $M$ 上的“属于”关系（可能是真正的属于关系，也可能是对真正属于关系的限制或模拟）。该模型满足传递性：对任意 $x,y\in M$，若 $x\in y$，则 $x\in M$。

若 $M$ 是集合，则称其为传递集合；若 $M$ 是真类，则称其为传递类。传递模型的核心特征是“元素的闭合性”，这使得其内部结构与外部宇宙（如冯·诺依曼宇宙 V）的部分层次一致。

关键性质

传递模型自动满足基础公理（Axiom of Foundation），因为其“属于”关系是良基的（任何非空子集都有 ∈-极小元）。传递模型通常满足空集公理、配对公理、并集公理和幂集公理（若模型包含幂集），但可能不满足替换公理（Axiom of Replacement）或分离公理（Axiom of Separation），除非模型足够“大”（如包含所有序数）。

传递模型是标准模型（Standard Model）的一种，因为其“属于”关系与真实宇宙的“属于”关系一致（非标准模型的“属于”可能是模拟的）。