+ω法序数超运算

+ω法序数超运算是一种序数超运算型序数记号，作者是量子杰克，与+1法超运算类似，但区别是遇到不动点会+ω而不是+1，原因是根据分析，这样能给出更整的基本列。序数超运算可以进行许多更高级别的拓展。目前已通过GPT6证明良序与确认对应关系至BHO：$\omega \{\mathrm{\Omega }\uparrow \uparrow \omega \}\omega$=(0)(1,1)(2,2)，实际良序范围预计远大于此。

定义

一个序数超运算的格式必须是$\beta \{\lambda \}\alpha$，其中β,λ,α都是正序数。

在标准表达式中：底数β只能是正整数或超限基数。若底数是超限基数，只能是${\mathrm{\Omega }}_x$，其中x是序数。定义：${\mathrm{\Omega }}_0=\omega$，对于正序数x，${\mathrm{\Omega }}_x$为第x个不可数基数（不是可数非递归序数，因为在超运算型记号中，不可数与可数非递归的效果存在本质区别）。

若底数有限，则指数α必须有限。若底数为超限基数，则指数的势必须小于等于底数的势。例如，若底数为ω，指数必须可数。若底数为${\mathrm{\Omega }}_x$，指数必须小于${\mathrm{\Omega }}_{x+1}$。

算符序数λ的势在目前版本中最多允许比底数多不超过I（首个不可达基数）。.

计算规则：

若指数为1，则值为底数。$\beta \{\lambda \}1=\beta$

若算符序数与指数均为后继序数，使用带跳不动点函数的简单迭代规则。$\beta \{\lambda +1\}(\alpha +1)=if(\beta \{\lambda \}\beta \{\lambda +1\}\alpha =\beta \{\lambda +1\}\alpha )?\beta \{\lambda \}j(\beta \{\lambda +1\}\alpha )else\beta \{\lambda \}\beta \{\lambda +1\}\alpha$

跳跃函数j(x)取$j(x)=x+\omega$，虽然可以取其他值，但根据分析，取x+ω能使基本列更整。

若指数为极限序数，值为对指数取基本列时得到的值的极限。$\beta \{\lambda \}\alpha =lim(\beta \{\lambda \}\alpha [x])$。共尾性${\mathrm{\Omega }}_x$的极限序数的基本列长度为${\mathrm{\Omega }}_x$。

若指数为后继序数，算符序数为共尾性小于等于底数的极限序数：对于$\beta ={\mathrm{\Omega }}_x,cof(\lambda )={\mathrm{\Omega }}_y,y\le x$，将指数分解为一个${\mathrm{\Omega }}_y$的倍数与一个小于${\mathrm{\Omega }}_y$的序数之和，$\alpha ={\mathrm{\Omega }}_y\times c+d$。若α<${\mathrm{\Omega }}_y$即c=0，则$\beta \{\lambda \}\alpha =\beta \{\lambda \}d=\beta \{\lambda [d]\}\beta$。若α>${\mathrm{\Omega }}_y$即c>0,$\beta \{\lambda \}\alpha =\beta \{\lambda \}({\mathrm{\Omega }}_y\times c+d)=\beta \{\lambda [d]\}j(\beta \{\lambda \}({\mathrm{\Omega }}_y\times c))$ 。

若指数为后继序数，算符序数为共尾性为底数的下一个超限基数：对于$\beta ={\mathrm{\Omega }}_x,cof(\lambda )={\mathrm{\Omega }}_{x+1}$，展开为：$\beta \{\lambda \}(\alpha +1)=if(\beta \{\lambda [\beta \{\lambda \}\alpha ]\}\beta =\beta \{\lambda \}\alpha )?\beta \{\lambda [j(\beta \{\lambda \}\alpha )]\}\beta else\beta \{\lambda [\beta \{\lambda \}\alpha ]\}\beta$。

若指数是后继序数，算符序数的共尾性大于底数的下一个超限基数，底数必须是超限基数（不能为有限数）。对于$\beta ={\mathrm{\Omega }}_x,cof(\lambda )={\mathrm{\Omega }}_{x+y+1}$，y为正序数，将指数分为ω的倍数与自然数之和：$\alpha =\omega \times c+d$。

定义：${\lambda }_1=\lambda$；${\lambda }_n$（n为大于1的正整数）= 将${\lambda }_{n-1}$的表达式中所有x>0的${\mathrm{\Omega }}_x$全部替换为${\mathrm{\Omega }}_{x+y}$。若指数有限，β{λ}α = Ω_x{λ[Ω_(x+y+1)]}d；β{λ}1 = Ω_x{λ[Ω_(x+y)]}ω；β{λ}(n+1) = 将β{λ}n表达式中的λ_n[Ω_(x+y*n)]替换为λ_n[Ω_(x+y*n)]{λ_(n+1)[Ω_(x+y*(n+1))]}ω。若指数为超限后继序数，β{λ}α = Ω_x{λ[Ω_(x+y+1)]}(ω*c+d)；β{λ}(ω*c+1) = Ω_x{λ[Ω_(x+y)]}j(β{λ}(ω*c))；β{λ}(ω*c+n+1) = 将β{λ}n表达式中的λ_n[Ω_(x+y*n)]替换为λ_n[Ω_(x+y*n)]{λ_(n+1)[Ω_(x+y*(n+1))]}ω；若指数为极限序数，β{λ}α = lim(β{λ}(α[n]))。

重要性质

序数超运算表达式$\beta \{\lambda \}\alpha$的值满足：

若底数与指数均有限，则表达式的值仍有限。

$\mathrm{\forall }\{\alpha ,\beta \}\subseteq N,\beta \{\lambda \}\alpha \in N$

若底数为超限序数，指数的势小于等于底数的势，则表达式的值的势仍等于底数的势。例如，若底数为ω，指数可数，则表达式的值仍可数。若底数为${\mathrm{\Omega }}_x$，指数小于${\mathrm{\Omega }}_{x+1}$，则表达式的值介于${\mathrm{\Omega }}_x$与${\mathrm{\Omega }}_{x+1}$之间。

$\mathrm{\forall }\{\alpha ,\beta \},Card(\beta )\ge max(Card(\alpha ),\omega ),Card(\beta \{\lambda \}\alpha )=Card(\beta )$

若指数为超限序数，且指数的势大于底数的势，则表达式一定不标准，而且其值的势等于指数的势。尤其是，若指数为超限基数，且指数的势大于底数的势，则表达式的值等于指数。

$\mathrm{\forall }\{\alpha ,\beta \},Card(\alpha )>max(Card(\beta ),\omega ),Card(\beta \{\lambda \}\alpha )=Card(\alpha )$

$\mathrm{\forall }\{\alpha ,\beta \},\alpha =Card(\alpha )>max(Card(\beta ),\omega ),\beta \{\lambda \}\alpha =\alpha$

当底数为1时，表达式的值永远为1。当底数与指数均为2时，表达式的值永远为4。

$\mathrm{\forall }\{\alpha ,\lambda \}\subseteq Ord,1\{\lambda \}\alpha =1,2\{\lambda \}2=4$

当底数与指数同为有限数n时，给定算符序数，可得一有限大数函数，其增长率相当于FGH的(1+算符序数)。

$n\{\lambda \}n\approx f_{1+\lambda }(n)$

分析

+ω法序数超运算分析