冯诺依曼宇宙

冯诺依曼宇宙，即良基集合宇宙WF，是冯诺依曼提出的一个由累加层次归纳构建的集论模型.

定义

在正则公理的基础上，冯诺依曼宇宙和集论全域 $V=\{x:x=x\}$ 是一个模型. 我们将$V$的一个累加层次称为$V_{\alpha }$，其中$\alpha$是一个序数. 有如下定义：

$V_0=\mathrm{\varnothing }$

$V_{\alpha +1}=\mathfrak{𝔓}(V_{\alpha })$

$V_{\alpha }={\cup }_{\beta <\alpha }{V}_{\beta }$，当 $\alpha$ 是极限序数

$V={\cup }_{\alpha \in Ord}{V}_{\alpha }$

性质

我们可以得出这个模型拥有许多良好的性质，例如

任何一个$V_{\alpha }$都是一个传递集，对于任意$\alpha$，$\alpha \subset V_{\alpha }$，并且可以根据“任何集合都在V中”这个属性来定义集合的秩（rank）.

冯诺依曼宇宙被认为是集论的“预备模型”，即如果$\mathrm{Z}\mathrm{F}\mathrm{C}$是一致的，那么$V$是它的一个模型. $V$也被称为，集合论宇宙.

$V$的一些累加层次可以作为ZFC公理体系的弱化版的模型，例如ZF-INF的模型可以是$V_{\omega }$，Z的模型可以是$V_{\omega \times 2}$.