BTBMS

BTBMS（Bubby3's Transfinite Bashicu Matrix System）是 Bubby3 创造的序数记号，是现行扩展 BMS 中强度最高的。它由 Bubby3 最先提出，并由笑姐姐最终给出完整定义。

定义

一个 BTBM 矩阵形如 $A = A_{1} \dots A_{n}$ ，其中 $A_{i}$ 称为矩阵的顶层列。

一个列形如 $C = (C_{1}, \dots, C_{m})$ ，其中 $C_{i}$ 称为列的项。

一个项形如 $E = v^{X}$ ，其中 $v$ 是正整数， $X$ 是一个 BTBM 矩阵。称 $X$ 为 $E$ 的高度矩阵， $v$ 为 $E$ 的值，或称作 $E$ 的父列标。称 $E$ 为 $X$ 的直接外部项； $E$ 所在列为 $X$ 的直接外部列。若 $E$ 的高度矩阵为空，则称 $E$ 为单行项。

以后我们常用 $A$ 表示整个矩阵， $X$ 表示 $A$ 的一个子阵。顶层列的高度矩阵称为直接子阵。矩阵 $A$ 本身，以及 $A$ 的某个直接子阵的子阵，统称为 $A$ 的子阵。

列标

如下定义 $A$ 的列在 $A$ 中的列标。 $A$ 最左列的列标为 1；对一个子阵 $X$ ， $X$ 的最左侧列列标为它的外部列的列标 +1。某个子阵非最左侧列的列标等于它左侧相邻列的列标 +1。

对于一个元素，它的值等于它的父列列标。如下寻找它的父列：从该元素所在列 $C$ 出发，若存在左侧相邻列则取左侧相邻列，否则取外部列。得到的列的列标取遍不大于 $C$ 的列标的所有正整数。其中列标等于元素的值的列即为该元素父列。

合法性约束

引入如下约束：一个合法矩阵所有列的所有元素的值都小于所在列的列标；对任何列 $C$ ， $C$ 的任何元素的高度矩阵的所有列都非空，且这些列的首个元素的值都大于等于 $C$ 的列标。

零记号与后继记号

若 $A$ 为空矩阵，则 $A$ 为零记号。若 $A$ 的末列为空列，则 $A$ 为后继记号，其前驱记号为 $A$ 去掉末列。

展开规则（寻找末列与基本列）

对于合法的极限矩阵，我们如下寻找它的末列。初始令当前层级为 $A$ 本身。

若当前层级的顶层列中的末列的末项（根据合法性约束总是存在）不为单行项，则将当前层级改为该项的高度矩阵，然后继续流程；
否则末列即为当前层级的顶层列中的末列。按定义末列的末项为单行项，称为右上元素。该项父列称为根列。

若末列恰有 1 项，且根列为末列所在层级的直接外部列时，适用如下特殊展开规则：设直接外部列为 $C = (E_{1}, \dots, E_{k}, E_{k + 1})$ ，其中 $E_{k + 1} = v^{X}$ ， $X$ 的顶层列的末列为 $A$ 的末列。此时 $A$ 的基本列第 $n$ 项为将 $E_{k + 1}$ 替换为 $E_{k + 1}'$ 的 $n$ 份复制，即将 $C$ 替换为 $C^{'} = (E_{1}, \dots, E_{k}, E_{k^{'} + 1}, \dots, E_{k^{'} + 1})$ 。其中 $E_{k + 1}' = v^{X^{'}}$ 为去掉 $E_{k + 1}$ 的高度矩阵 $X$ 的末列得到的项。

否则，适用一般展开规则。一般展开中，我们定义减一余项。这是在末列删去末项后，将要添加到末列的根列的项。令 $C_{r}$ 为根列的一个复制， $C_{t}$ 为末列的一个复制去掉末项，其列标视为原来列的列标。这之后，不断比较 $C_{r}$ 与 $C_{t}$ 首项的高度，然后删去高度较低的项；高度相同时同时删去。直到 $C_{r}$ 与 $C_{t}$ 至少有一个为空时， $C_{r}$ 中的项即称为减一余项。令阶差等于末列列标减去根列列标。

一个元素称为递增的当且仅当它的值不小于根列列标。简单递增 $w$ 次是指将该矩阵的所有递增元素的值增加阶差的 $w$ 倍。令复制部为根列所在层级中，根列和右侧的所有列构成的矩阵，删去末列。将 ${C_{t}}^{'}$ 为原矩阵末列去掉末项， ${C_{r}}^{'}$ 为减一余项。将 ${C_{t}}^{'}$ 简单递增 $w - 1$ 次得到 ${C_{t}}^{″}$ 。

若根列不是所在层级末列，令 ${C_{r}}^{″}$ 为对 ${C_{r}}^{'}$ 简单递增 $w$ 次。递增结果的首列为 ${C_{t}}^{″} + {C_{r}}^{″}$ ；其余列为复制部去掉首列后简单递增 $w$ 次。
否则，根列为所在层级的末列，因此末列是根列末项高度矩阵中的列。若减一余项为空，则称 $A$ 为坏矩阵，不定义其展开。否则，末列实际为减一余项的子列。将减一余项删去末列，然后简单递增 $w$ 次得到 ${C_{r}}^{″}$ 。递增结果为 ${C_{t}}^{″} + {C_{r}}^{″}$ 构成的单列矩阵。

这之后， $A$ 的基本列第 $n$ 项如下计算：将 $A$ 删去末列，然后对 $i = 1, \dots, n$ ，依次将 $A$ 的复制部递增 $i$ 次后，置于删去的末列的位置。（ $i = 1$ 时置于 $A$ 删去的末列的位置；否则置于递增 $i - 1$ 次的复制部删去的末列的位置）得到的矩阵即为所求。

分析

关于 BTBMS 的强度分析及与 Y 序列等记号的具体对应，详见 BTBMS分析。