BTBMS

BTBMS（Bubby3's Transfinite Bashicu Matrix System）是Bubby3和社区讨论给出理念，并最终由笑姐姐给出完整定义的序数记号，是现行扩展 BMS 中强度最高的，也有可能是现行googology最强大的记号之一。

定义

一个 BTBM 矩阵形如 $A=A_1\cdots A_n$，其中 $A_i$ 称为矩阵的顶层列。

一个列形如 $C=(C_1,\cdots ,C_m)$，其中 $C_i$ 称为列的项。

一个项形如 $E=v^X$，其中 $v$ 是正整数，$X$ 是一个 BTBM 矩阵。称 $X$ 为 $E$ 的高度矩阵，$v$ 为 $E$ 的值，或称作 $E$ 的父列标。 称 $E$ 为 $X$ 的直接外部项；$E$ 所在列为 $X$ 的直接外部列。若 $E$ 的高度矩阵为空，则称 $E$ 为单行项。

以后我们常用 $A$ 表示整个矩阵，$X$ 表示 $A$ 的一个子阵。顶层列的高度矩阵称为直接子阵。矩阵 $A$ 本身，以及 $A$ 的某个直接子阵的子阵，统称为 $A$ 的子阵。

列标

如下定义 $A$ 的列在 $A$ 中的列标。 $A$ 最左列的列标为 1；对一个子阵 $X$，$X$ 的最左侧列列标为它的外部列的列标 +1。某个子阵非最左侧列的列标等于它左侧相邻列的列标 +1。

对于一个元素，它的值等于它的父列列标。如下寻找它的父列：从该元素所在列 $C$ 出发，若存在左侧相邻列则取左侧相邻列，否则取外部列。得到的列的列标取遍不大于 $C$ 的列标的所有正整数。其中列标等于元素的值的列即为该元素父列。

合法性约束

引入如下约束：一个合法矩阵所有列的所有元素的值都小于所在列的列标；对任何列 $C$，$C$ 的任何元素的高度矩阵的所有列都非空，且这些列的首个元素的值都大于等于 $C$ 的列标。

零记号与后继记号

若 $A$ 为空矩阵，则 $A$ 为零记号。 若 $A$ 的末列为空列，则 $A$ 为后继记号，其前驱记号为 $A$ 去掉末列。

展开规则（寻找末列与基本列）

对于合法的极限矩阵，我们如下寻找它的末列。初始令当前层级为 $A$ 本身。

• 若当前层级的顶层列中的末列的末项（根据合法性约束总是存在）不为单行项，则将当前层级改为该项的高度矩阵，然后继续流程；
• 否则末列即为当前层级的顶层列中的末列。按定义末列的末项为单行项，称为右上元素。该项父列称为根列。

若末列恰有 1 项，且根列为末列所在层级的直接外部列时，适用如下特殊展开规则： 设直接外部列为 $C=(E_1,\cdots ,E_k,E_{k+1})$，其中 $E_{k+1}=v^X$，$X$ 的顶层列的末列为 $A$ 的末列。 此时 $A$ 的基本列第 $n$ 项为将 $E_{k+1}$ 替换为 $E_{k+1}\text{'}$ 的 $n$ 份复制，即将 $C$ 替换为 $C^{\prime }=(E_1,\cdots ,E_k,E_{k^{\prime }+1},\cdots ,E_{k^{\prime }+1})$。 其中 $E_{k+1}\text{'}=v^{X^{\prime }}$ 为去掉 $E_{k+1}$ 的高度矩阵 $X$ 的末列得到的项。

否则，适用一般展开规则。 一般展开中，我们定义减一余项。这是在末列删去末项后，将要添加到末列的根列的项。 令 $C_r$ 为根列的一个复制，$C_t$ 为末列的一个复制去掉末项，其列标视为原来列的列标。 这之后，不断比较 $C_r$ 与 $C_t$ 首项的高度，然后删去高度较低的项；高度相同时同时删去。直到 $C_r$ 与 $C_t$ 至少有一个为空时，$C_r$ 中的项即称为减一余项。令阶差等于末列列标减去根列列标。

一个元素称为递增的当且仅当它的值不小于根列列标。简单递增 $w$ 次是指将该矩阵的所有递增元素的值增加阶差的 $w$ 倍。 令复制部为根列所在层级中，根列和右侧的所有列构成的矩阵，删去末列。将 ${C_t}^{\prime }$ 为原矩阵末列去掉末项，${C_r}^{\prime }$ 为减一余项。将 ${C_t}^{\prime }$ 简单递增 $w-1$ 次得到 ${C_t}^{″}$。

• 若根列不是所在层级末列，令 ${C_r}^{″}$ 为对 ${C_r}^{\prime }$ 简单递增 $w$ 次。递增结果的首列为 ${C_t}^{″}+{C_r}^{″}$；其余列为复制部去掉首列后简单递增 $w$ 次。
• 否则，根列为所在层级的末列，因此末列是根列末项高度矩阵中的列。若减一余项为空，则称 $A$ 为坏矩阵，不定义其展开。否则，末列实际为减一余项的子列。将减一余项删去末列，然后简单递增 $w$ 次得到 ${C_r}^{″}$。递增结果为 ${C_t}^{″}+{C_r}^{″}$ 构成的单列矩阵。

这之后，$A$ 的基本列第 $n$ 项如下计算： 将 $A$ 删去末列，然后对 $i=1,\cdots ,n$，依次将 $A$ 的复制部递增 $i$ 次后，置于删去的末列的位置。（$i=1$ 时置于 $A$ 删去的末列的位置；否则置于递增 $i-1$ 次的复制部删去的末列的位置）得到的矩阵即为所求。

分析与展望

关于 BTBMS 的强度分析及与 Y 序列等记号的具体对应，详见 BTBMS分析。

BTBMS自理念提出以来，被很多分析者进行过分析，并且分析结果曾经被反复推翻。在缺乏完整定义的情况下进行的分析，很容易遗漏细节并且无法检验。如discord的ggg社区曾经认为BTBMS极限是$Y(1,3,5)$，国内也曾经把BTBMS的极限分析为$Y(1,3,4,6)$或$Y(1,3,4,2,5,8,11)$。

2026年7月14日，笑姐姐给出了BTBMS的完整定义，并且将其放入NER这一大型交互式展开器中。有了展开器之后，推进其分析变的容易。梅天狸与test_alpha0在社区讨论中分别进行了BTBMS的分析。test_alpha0最终将BTBMS极限分析为$Y(1,3,9)$.

然而，在2026年9月15日，142857cs找到了$Y(1,3,9)$嵌入BTBMS$(0)(1^{(2,2)},1,1)$的程序，并经过了test_alpha0的验证与确认。从而原先分析结果被推翻。随后test_alpha0又在2026年9月25日给出了ω-Y嵌入BTBMS$(0)(1^{(2,2)(3,2)(4)})$的程序，确认了BTBMS＞ω-Y这一惊人的结果。

由于BTBMS过于复杂的行为，导致ggg爱好者对其的分析反复出现问题。相应的，我们不应该苛责过去对BTBMS分析错误的人，他们为了这个课题付出了心血，并且错误的分析也为我们提供了经验与教训。此外，因为BTBMS已经超过了ω-Y，和它对照的记号只剩下了iblp，从而导致列表分析难度激增。未来或许需要依赖AI辅助来完成对BTBMS的分析。