BTBMS

BTBMS（Bubby3's Transfinite Bashicu Matrix System）是 Bubby3 创造的序数记号，是现行扩展 BMS 中强度最高的。

定义

BTBMS 表达式中的一列形如 $(a_1,a_2,\cdots ,a_n^{(b_1,b_2,\cdots )})$。它由两部分组成，分别为 $(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ 以及 $(b_1,b_2,\cdots )$。它的后继规则为 $(\mathrm{\#})(0)[n]=(\mathrm{\#})[n+1],\left(a^{(\mathrm{\#})(\varnothing )}\right)[n]=(a^{(\mathrm{\#})},a)[n]$。

其展开过程如下。首先找到坏根。如果末列不位于上标，则其规则与 BMS 是一致的。如果末列位于上标，则将其视为平移到原矩阵的最后方，然后按照 BMS 的规则寻找坏根。特别地，$(\mathrm{\#},a_n)$ 视为 $(\mathrm{\#},a_n^{(\varnothing )})$。

末列在找坏根的时候逐级向外，例如对于表达式 $(0)(1^{(2,1^{(3)})})$ 将 $(1^{(2,1^{(3)})})$ 视为 $(1^{(\varnothing )}(2,1^{(\varnothing )})(3))$，它的 $(3)$ 现在本层找坏根。它的行数为 1，可以直接找到空序列作坏根，所以不向下找，直接在 $(\varnothing )(3)$ 那一层复制为 $(2,1^{(\varnothing )},1^{(\varnothing )},\cdots )$。

第二步是确定复制部。如果末列不位于上标，则其规则与 BMS 一致，复制到的位置也不位于上标。如果末列位于上标，则形如 $(0)\cdots (\mathrm{b}\mathrm{r})\cdots (A,B^C)$，复制部为 $(\mathrm{b}\mathrm{r})\cdots (A,B^{[]})$。复制时将 $(\mathrm{b}\mathrm{r})$ 复制到中括号的位置，然后加上提升偏移 $\mathrm{\Delta }$。

第三步是确定提升偏移。对于一项 $(a_1,a_2,\cdots ,a_n^{(b_1,b_2,\cdots )})$，无需考虑 $(b_1,b_2,\cdots )$ 的提升偏移，正常计算即可。例如对于表达式 $(0)(1^{(2,1)})$，它的坏根为 $(0)$，它的提升偏移就是 $(2,0,0,\cdots )$。如果出现末项行数无穷的情况，例如表达式 $(0)(1^{(2,1)},1)$，则其末项为 $(1^{(2,1)})$，坏根为 $(0)$，提升偏移为 $(1,1,1,\cdots )$。多余的提升偏移被忽略，因此将其展开为 $(0)(1^{(2,1)})(2^{(3,2)})\cdots$。