UPMS

UPMS（Unupgrading Projection Matrix System），是test_alpha0制作的序数记号。它目前被认为是理想的无提升BMS。

定义

UPMS的合法表达式与绝大部分规则都与BMS相同，此处不再赘述，只在坏部中，多出一些特殊的元素不加阶差向量。

在展开流程中，当我们按照BMS的规则判断好部、坏部、阶差向量，我们需要进行以下额外的工作判断坏部中哪些项不加阶差向量，我们需要从第2行开始从左到右依次判定。第2行判定结束后转向第3行，以此类推。

我们定义$A(m,n)$是UPMS中，第m列第n行的元素。

如果元素的祖先项不包含坏根中的元素，那么该元素不加阶差向量。

如果一个元素a的父项在坏根列之内，设其在第i列，第k行。

如果a的同列上方的元素是不加阶差向量的，那么它也不加；如果a的同列下方存在一项，该项的父项不在坏根列，那么a不加阶差向量。

如果都不是，那么向右逐列收集不小于$(A(i,1)+1,A(i,2)+1,\cdots ,A(i,k)+1,A(i,k+1))$的列，遇到不符合的列就停止不再收集。得到矩阵X为该元素的原检查式。

在末列的第k行元素的祖先项中，找到其中一个满足其父项在坏根列的成员b，记b处于第j列。记第j列到末列的矩阵部分为Y，为a的原基准。如果不存在b，那么j是末列列标，Y就是末列。

记x为UPMS中，所有元素的最大值×2.

对于$1\le s\le k-1$,如果X中行标为s的一项经过判定是加阶差向量的，那么把它加上$x-A(i,s)$。得到的为X'，是a的检查式。

对于$1\le s\le k-1$,如果Y中行标为s的一项，祖先项包括列j的元素，那么把它加上$x-A(j,s)$。得到的为Y'，是a的基准。

如果X'的字典序小于Y'，那么a是不加阶差向量的。

最后，额外的检查一下a在坏部中的祖先项是否全部加阶差向量。如果有任何一项不加阶差向量，那么a也不加阶差向量。

如果上述都不符合，那么a加阶差向量。

分析

主词条：UPMS VS 投影OCF

UPMS被认为极限和BMS相同。但是，UPMS与投影OCF的对应关系依然十分杂乱。