滤子

滤子是一类常见的集合论对象，在多个非集合论强相关的数学领域也多有应用（但也可能是它的对偶，即理想）。

定义

我们称对于一个集合$S$而言，作为$P(S)$子集的$F$是$S$上的一个滤子，当且仅当：

1. $\mathrm{\varnothing }\notin F$且$S\in F$
2. 如果$A\in F$且$A$是$B$的子集，那么$B\in F$
3. 如果$A$，$B\in F$，则$A\cap B\in F$

这就是滤子的所有要求。

类型

对于一个$S$上滤子$F$，如果存在一个$S$的非空子集$C$使得任意$X\in F$而言，$C$是$X$的子集，那么我们称$F$是一个主滤子。反之，则称其是一个非主滤子。

下面我们举出一个经典非主滤子的例子：

frechet滤子(余有限滤子)： 对于一个无穷集合$S$,集合$F=\{X\text{是}S\text{的子集}:S-X\text{是有限集}\}$是$S$上的一个frechet滤子，并且它是非主的。

一个滤子$F$被称为超滤，当且仅当对于任意$S$的子集$X$而言，要么$X\in F$,要么$S-X\in F$.

同时，一个滤子$F$是极大的，当且仅当不存在$S$上滤子$F_1$使得$F$是$F_1$的子集。

可以证明，极大滤子和超滤是等价的。

性质

由此，我们有了以下的引理：

引理1 (tarski)：任何一个滤子都能被扩张为一个超滤。

证明：我们考虑一个集合$S$上包含起始滤子$F$的全体滤子构成的偏序集$A$，使得子集关系成为其上的偏序。现在，考虑任何一条滤子之间构成的子集链$⟨F_n:n\in \text{ord}⟩$

我们可以验证，任何一个滤子之间构成的子集链的并也是一个滤子，那么它应该也是$A$的元素。那么，这也就是在说，任何$A$上这个子集偏序的链都有上界。由zorn引理，$A$存在极大元$U$，那么它应该是一个极大滤子，则它是一个超滤，得证。