BSM

Bashicu急矩阵(Bashicu Sudden Matrix,BSM)是Bashicu Hyudora发明的序数记号。它目前还未被证明良序。它被认为是急模式的源头

定义

前排提示：请先阅读BMS和BHM的定义

BSM只有找坏根规则和BMS不一致。以下介绍不一致的地方。

1. 第0列：默认行、列标均从1开始，并在第1列之前加上一个额外的没有值的第0列。如果BHM中一个元素没有父项，则取其父项为同行第0列的元素。
2. 子项：如果项A的父项是项B，则称A是B的子项。
3. 待定坏根：待定坏根为末列最靠下的非0项(LNZ)的所有祖先项（包括第0列元素）的子项所在列。特别的，如果末列最下非0项不在第1行，则要求待定坏根正上方的元素应当是末列最下非0项正上方的元素的祖先项。我们称待定根集合中的一些根为“小根”，一些根为“大根”。大根与小根是不冲突的，这意味着，一个根可能既不是小根也不是大根，也可能同时是小根和大根。坏根的选择，和小根与大根息息相关。
4. 预展开：根据找到的待定坏根r，确定待定好部G'，待定坏部B'，末列L，待定阶差向量${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$，随后按照BMS的规则得到r对应的预展开式$S_r=G^{\prime }\sim B^{\prime }\sim (B^{\prime }+{\mathrm{\Delta }}^{\prime })\sim (L+{\mathrm{\Delta }}^{\prime })$(其中~是序列连接)。特别的，我们称最右侧的待定坏根（即BMS意义的坏根）对应的预展开式为基准式。
5. 小根：至少满足下列两条件之一的根r是小根：①r的预展开式在字典序上小于基准式。②如果根r是最右侧待定坏根的祖先项，且第r列和最右侧待定坏根所处列的第t+1行到最后一行，不能完全对应相同(t是LNZ所处行号)。
6. 大根：如果根r是最右侧待定坏根的祖先项，且满足第r列和最右侧待定坏根所处列的第t+1行到最后一行，完全对应相同
7. 坏根：坏根定义为在所有“是小根但不是大根”的待定坏根右边的第一个待定坏根。特别的，如果不存在这样的这样的待定坏根，则坏根是最左侧待定坏根。

BSM的极限基本列是$\{(0)(1),(0,0)(1,1),(0,0,0)(1,1,1),\cdots \}$,因此从这里面的元素经过不断取基本列或取前驱所能得到的式子是BSM的标准式，否则不是标准式。

值得注意的是，单行BSM又称急序列(Sudden Sequence System,SSS),也是一个很有名的序数记号。

实例：

例1：$(0)(1)(2)$

可以发现LNZ的祖先是第0项、第1项、第2项。找到它们的所有子项，是第1项和第2项。于是给出预展开式$S_1=(0)(1)(1)(2)(3)$,$S_2=(0)(1)(1)(2)$.因此小根是第0项。因此坏根是第1项。得到展开式是$(0)(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)\cdots$.

例2：$(0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(3,0)$

我们用红色标记其待定坏根：$(0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(3,0)$,前两个待定坏根均为最右侧待定坏根第三列第一行的2的祖先项，第一列第一行的0下方的元素和最右侧待定坏根下方的元素完全一致，因此它是一个大根。而第二列第一行的1下方的元素和最右侧待定坏根下方的元素不一致，因此它是一个小根。在这里我们很幸运，可以直接得出坏根是第三列第一行的2.于是展开式是$(0,0)(1,1)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)\cdots$

例3：$(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)$

我们用红色标记其待定坏根：$(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(3,0)$.其中第一列第一行的0和第四列第一行的1是最右侧待定坏根2的祖先项。可以发现它们都是大根。接下来是各个待定坏根的预展开式：$S_5=(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)(3,0)$,它是基准式。接下来有$S_4=(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)(4,1)(4,0)$然后是$S_3=(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(2,0)(3,0)(4,1)(4,0)$。然后是$S_2=(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,1)(2,0)(2,0)(3,0)(4,1)(4,0)$.然后是$S_1=(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,1)(3,0)(3,0)(4,0)(5,1)(5,0)$.比较字典序后发现，第二列第一行的1、第三列第一行的1、第四列第一行的1的预展开式都大于基准式，因此它们都不是小根。但因为第一列第一行的0和第四列第一行的1是大根，因此坏根是第四列第一行的1.于是得到展开式$(0,0)(1,1)(1,0)(1,0)(2,0)(3,1)(2,0)(3,0)(4,1)\cdots$

枚举和强度分析

参见词条BSM分析