初等嵌入
更多操作
<!DOCTYPE html>
<html lang="zh-CN">
<head>
<meta charset="utf-8">
<title>非平凡 — Googology Wiki 编码示例</title>
</head>
<body>
<h1>非平凡（Non-trivial elementary embedding）</h1>
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mtable columnalign="left">
<mtr>
<mtd>
<mstyle mathvariant="bold"><mtext>非平凡初等嵌入</mtext></mstyle>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mtext>设</mtext><mi>M</mi><mo>,</mo><mi>N</mi><mtext>为传递类且满足 ZF⁻；映射</mtext>
<mi>j</mi><mo>:</mo><mi>M</mi><mo>→</mo><mi>N</mi>
</mrow>
<br/>
<mrow>
<mtext>为初等嵌入当且仅当</mtext>
<mo>∀</mo><mi>φ</mi><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><mo>)</mo>
<mtext>及</mtext><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>∈</mo><mi>M</mi>
</mrow>
<br/>
<mrow>
<mi>M</mi><mo>⊨</mo><mi>φ</mi><mo>[</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>]</mo>
<mo>⇔</mo>
<mi>N</mi><mo>⊨</mo><mi>φ</mi><mo>[</mo><mi>j</mi><mo>(</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>(</mo><msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub><mo>)</mo><mo>]</mo>
</mrow>
<br/>
<mrow>
<mtext>称为非平凡当且仅当</mtext>
<mo>∃</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>M</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≠</mo><mi>x</mi><mo>.</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr><mtd><mspace height="0.8em"/></mtd></mtr>
<mtr>
<mtd>
<mstyle mathvariant="bold"><mtext>临界点</mtext></mstyle>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mtext>对非平凡初等嵌入</mtext><mi>j</mi><mo>:</mo><mi>M</mi><mo>→</mo><mi>N</mi><mtext>，存在最小序数</mtext><mi>κ</mi>
</mrow>
<br/>
<mrow>
<mtext>使得</mtext><mi>j</mi><mo>(</mo><mi>κ</mi><mo>)</mo><mo>≠</mo><mi>κ</mi><mo>；记</mtext><mtext>crit</mtext><mo>(</mo><mi>j</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>κ</mi><mo>.</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr><mtd><mspace height="0.8em"/></mtd></mtr>
<mtr>
<mtd>
<mstyle mathvariant="bold"><mtext>共尾性</mtext></mstyle>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mtext>嵌入</mtext><mi>j</mi><mo>:</mo><mi>M</mi><mo>→</mo><mi>N</mi><mtext>称为共尾，当且仅当</mtext>
<mo>∀</mo><mi>y</mi><mo>∈</mo><mi>N</mi><mo>,</mo><mo>∃</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>M</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>∈</mo><mi>j</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>.</mo>
</mrow>
<br/>
<mrow>
<mtext>若</mtext><mi>M</mi><mo>⊨</mo><mtext>ZF</mtext><mtext>且</mtext><mi>N</mi><mo>⊆</mo><mi>M</mi><mtext>，则任何初等嵌入都是共尾的</mtext><mo>.</mo>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
<mtr><mtd><mspace height="0.8em"/></mtd></mtr>
<mtr>
<mtd>
<mstyle mathvariant="bold"><mtext>一致性（Kunen 定理）</mtext></mstyle>
</mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd>
<mrow>
<mtext>在 ZFC 中不存在非平凡初等嵌入</mtext><mi>j</mi><mo>:</mo><mi>V</mi><mo>→</mo><mi>V</mi><mo>.</mo>
</mrow>
<br/>
<mrow>
<mtext>更具体地（Kunen, 1971）：对任意序数</mtext><mi>λ</mi><mtext>，不存在非平凡初等嵌入</mtext>
<mi>j</mi><mo>:</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
<mo>→</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
<mtext>.</mtext>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</math>
</body>
</html>