初等嵌入

 

  <mtable columnalign="left">

   

    <mtr>

      <mtd>

        <mstyle mathvariant="bold" mathsize="1.2em">

          <mtext>非平凡初等嵌入</mtext>

        </mstyle>

      </mtd>

    </mtr>

   

    <mtr>

      <mtd>

        <mrow>

          <mtext>设</mtext>

          <mi>M</mi>

          <mo>,</mo>

          <mi>N</mi>

          <mtext>为传递类且满足 ZF⁻；映射</mtext>

          <mi>j</mi>

          <mo>:</mo>

          <mi>M</mi>

          <mo>→</mo>

          <mi>N</mi>

          <mtext>称为初等嵌入当且仅当</mtext>

        </mrow>

        <mrow>

          <mo>∀</mo>

          <mi>φ</mi>

          <mo>(</mo>

          <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>

          <mo>,</mo>

          <mo>…</mo>

          <mo>,</mo>

          <msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub>

          <mo>)</mo>

          <mo>,</mo>

          <mo>∀</mo>

          <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>

          <mo>,</mo>

          <mo>…</mo>

          <mo>,</mo>

          <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>

          <mo>∈</mo>

          <mi>M</mi>

        </mrow>

        <mrow>

          <mi>M</mi>

          <mo>⊨</mo>

          <mi>φ</mi>

          <mo>[</mo>

          <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>

          <mo>,</mo>

          <mo>…</mo>

          <mo>,</mo>

          <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>

          <mo>]</mo>

          <mo>⇔</mo>

          <mi>N</mi>

          <mo>⊨</mo>

          <mi>φ</mi>

          <mo>[</mo>

          <mi>j</mi>

          <mo>(</mo>

          <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>

          <mo>)</mo>

          <mo>,</mo>

          <mo>…</mo>

          <mo>,</mo>

          <mi>j</mi>

          <mo>(</mo>

          <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>

          <mo>)</mo>

          <mo>]</mo>

        </mrow>

        <mtext>；且称为</mtext>

        <mstyle mathvariant="bold">

          <mtext>非平凡</mtext>

        </mstyle>

        <mtext>当且仅当</mtext>

        <mo>∃</mo>

        <mi>x</mi>

        <mo>∈</mo>

        <mi>M</mi>

        <mo>,</mo>

        <mi>j</mi>

        <mo>(</mo>

        <mi>x</mi>

        <mo>)</mo>

        <mo>≠</mo>

        <mi>x</mi>

        <mo>.</mo>

      </mtd>

    </mtr>

    <mtr><mtd><mspace height="0.6em"/></mtd></mtr>

   

    <mtr>

      <mtd>

        <mstyle mathvariant="bold" mathsize="1.2em">

          <mtext>临界点</mtext>

        </mstyle>

      </mtd>

    </mtr>

    <mtr>

      <mtd>

        <mrow>

          <mtext>对非平凡初等嵌入</mtext>

          <mi>j</mi>

          <mo>:</mo>

          <mi>M</mi>

          <mo>→</mo>

          <mi>N</mi>

          <mtext>，存在最小序数</mtext>

          <mi>κ</mi>

          <mtext>使得</mtext>

          <mi>j</mi>

          <mo>(</mo>

          <mi>κ</mi>

          <mo>)</mo>

          <mo>≠</mo>

          <mi>κ</mi>

          <mo>，记</mtext>

          <mtext>crit</mtext>

          <mo>(</mo>

          <mi>j</mi>

          <mo>)</mo>

          <mo>=</mo>

          <mi>κ</mi>

          <mo>.</mo>

        </mrow>

      </mtd>

    </mtr>

    <mtr><mtd><mspace height="0.6em"/></mtd></mtr>

   

    <mtr>

      <mtd>

        <mstyle mathvariant="bold" mathsize="1.2em">

          <mtext>共尾性</mtext>

        </mstyle>

      </mtd>

    </mtr>

    <mtr>

      <mtd>

        <mrow>

          <mtext>嵌入</mtext>

          <mi>j</mi>

          <mo>:</mo>

          <mi>M</mi>

          <mo>→</mo>

          <mi>N</mi>

          <mtext>称为共尾，当且仅当</mtext>

          <mo>∀</mo>

          <mi>y</mi>

          <mo>∈</mo>

          <mi>N</mi>

          <mo>,</mo>

          <mo>∃</mo>

          <mi>x</mi>

          <mo>∈</mo>

          <mi>M</mi>

          <mo>,</mo>

          <mi>y</mi>

          <mo>∈</mo>

          <mi>j</mi>

          <mo>(</mo>

          <mi>x</mi>

          <mo>)</mo>

          <mo>.</mo>

        </mrow>

        <mtext>若</mtext>

          <mi>M</mi>

          <mo>⊨</mo>

          <mtext>ZF</mtext>

          <mtext>且</mtext>

          <mi>N</mi>

          <mo>⊆</mo>

          <mi>M</mi>

          <mtext>，则任何初等嵌入都是共尾的</mtext>

        <mo>.</mo>

      </mtd>

    </mtr>

    <mtr><mtd><mspace height="0.6em"/></mtd></mtr>

   

    <mtr>

      <mtd>

        <mstyle mathvariant="bold" mathsize="1.2em">

          <mtext>一致性</mtext>

        </mstyle>

      </mtd>

    </mtr>

    <mtr>

      <mtd>

        <mrow>

          <mtext>在 ZFC 中不存在非平凡初等嵌入</mtext>

          <mi>j</mi>

          <mo>:</mo>

          <mi>V</mi>

          <mo>→</mo>

          <mi>V</mi>

          <mo>.</mo>

        </mrow>

        <mrow>

          <mtext>更具体地（Kunen, 1971）：对任意序数</mtext>

          <mi>λ</mi>

          <mtext>，不存在非平凡初等嵌入</mtext>

          <mi>j</mi>

          <mo>:</mo>

          <msub><mi>V</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>

          <mo>→</mo>

          <msub><mi>V</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>

          <mtext>。</mtext>

        </mrow>

      </mtd>

    </mtr>

  </mtable>

</math>