传递集

在集合论中，传递集（或递移集，Transitive Set）是一种特殊的集合，其元素的所有元素也属于该集合本身。这一概念是集合论模型论和构造性集合论（如内模型理论）的基础工具。

定义

一个集合 $U$ 称为传递集，当且仅当它满足以下条件：

$\mathrm{\forall }x\in U\mathrm{\forall }y(y\in x\Rightarrow y\in U)$

即，若 $x$ 是 $U$ 的元素，且 $y$ 是 $x$ 的元素，则 $y$ 必然也是 $U$ 的元素。这种性质称为向下封闭性（downward closure）。

等价表述

传递集可等价定义为：

• $U$ 的传递闭包等于自身（即 $\mathrm{T}\mathrm{C}(U)=U$），其中传递闭包是包含 $U$ 及其所有元素的元素的最小传递集。
• $U$ 上的∈关系是良基的（well-founded），即不存在无限下降链 $\cdots \in x_2\in x_1\in x_0\in U$。

性质

举例：

1. 空集是传递的：空集 $\varnothing$ 是传递集，因为其没有元素需要验证。
2. 单元素传递集：若 $U=\{\varnothing \}$，则 $U$ 是传递的，因为其唯一元素 $\varnothing$ 的元素（无）均属于 $U$。
3. $V_0=\varnothing ,V_1=\{\varnothing \},V_2=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\cdots$：更一般地，累积层次 $V_{\alpha }$（其中 $\alpha$ 为序数）均为传递集。
4. 序数是传递集：所有序数（ordinal）均为传递集。序数的定义为：每个元素是更小的序数（即 $\alpha \in \beta \Rightarrow \alpha \subset \beta$）；序数满足三歧性（任意两个序数可比较）。
5. 可构造宇宙 L：Gödel 的可构造宇宙 L 是最小的传递内模型，包含所有序数，并满足 ZFC 公理

传递集的并集仍是传递的；若 $\{U_i{\}}_{i\in I}$​ 是传递集族，则 $\bigcup _{i\in I}{U}_i$​ 也是传递集。

传递模型中的∈关系：若 $U$ 是传递集，则结构 $⟨U,\in ⟩$ 是集合论公理（如 ZFC 去除非集合论公理）的一个传递模型，其∈关系与全集的∈关系一致。

相关概念

传递类（Transitive Class）

若一个类（可能不是集合）$M$ 满足：

$\mathrm{\forall }x\in M\mathrm{\forall }y(y\in x\Rightarrow y\in M)$

则称 $M$ 为传递类。例如，整个宇宙 V 是传递类，但非传递集（因其不是集合）。

内模型（Inner Model）

传递类 $M$ 若满足：

• $M$ 是传递的；
• $M$ 包含所有序数；
• $M$ 是集合论公理（如 ZFC）的模型； 则称 $M$ 为内模型。典型例子包括 L（可构造宇宙）和 HOD（由序数可定义集构成的类）。

绝对性（Absoluteness）

在传递模型中，某些集合论概念（如“x 是序数”、“x 是自然数”）的真值不依赖于模型的选择，这种现象称为绝对性。

良基集（Well-founded Set）

在 ZFC 中，传递集必为良基集。

TO DO: 良基集

历史背景

传递集的概念源于 Zermelo-Fraenkel 集合论对“集合”的递归定义需求。通过累积层次 $V_{\alpha }$，集合论得以分层构造，而传递集正是这一分层的核心单元。Gödel 在 1930 年代通过可构造宇宙 L 的构造，展示了传递模型在独立性证明中的强大应用。