命数定理

定理1：每个良序集同构于唯一一个序数

引理1：如果对于两个良序集W1，W2，W1同构到W2，则这个同构是唯一的

定义：一个良序集（W,<）根据任意一个W的元素x得到的始段为W(x)={u∈W：u＜x}

引理2：不存在一个良序集同构于它的始段

定理2：对于任何两个良序集W1，W2，只会有以下其中一种情况发生：

1.W1同构于W2的一个始段

2.W2同构于W1的一个始段

3.W1同构于W2

证明:定义f={(x，y)：x∈W1且y∈W2且W1（x）同构于W2（y）}

由引理2，这是一个一对一函数（如果不是，则存在u，y∈W2使得W2（u）同构于W2（y），且u<y，则W2（u）也是W2（y）的始段，由引理2得知矛盾，所以这是一个一对一函数）

对于任意W1元素u<x,W2元素y，且W1(x)同构于W2（y），则W1（u）同构于W2（f（u）），则W2(f(u))是W2（y）的始段，所以f（u）＜y，这个映射是同构

如果range为W2且domain为W1,则这个W1同构于W2

如果domain是W1且range为W2的始段，则W1同构于W2的始段

如果range是W2且domain是W1的始段，则W2同构于W1的始段

（假设最大只存在W1始段A和W2始段B同构，考虑最小的u∈W1使得u不属于A和最小的k∈W2使得k不属于B，显然，由u和k分别生成的始段同构，所以u和k所成的有序对应该是f的元素。然而这与我们的假设相背，所以矛盾）

定理1的证明：由于任意良序集和序数都是良序集，所以对于任意一个良序集W和序数a，如果W同构于a，则W和a的同构也是唯一的（否则，存在a<b或c<a使得a同构于c或者b，由于a<b则a为b始段，c<a则c为a始段，由引理2得到矛盾，所以这个同构唯一)，如果W同构于a的始段，显然W也同构于这个始段对应的序数；如果W的始端同构于a，那么必然存在b>a使得W同构于b，由前面可得同构唯一性

所以，任意良序集同构于唯一一个序数。

由良序定理，任何集合都是良序集

所以，任何集合都同构于唯一一个序数，得证。