模型

一个给定语言$\lambda$的模型是一个对$(A,I)$，其中$A$为全域/宇宙，$I$为$A$上的解释函数，负责把$\lambda$中的符号映射到A中合适的关系，函数，常元。通常我们将模型写为以下形式

$\alpha =(A,P^{\alpha },\cdots ,F^{\alpha },\cdots ,c^{\alpha })$

在中文语境中，语言的模型也被称为数学结构。

我们定义，一个数学结构$A$满足某个公式$\phi (a,b,\cdots )$，

当且仅当$\phi (a^A,b^B,\cdots )$在$A$中成立。

一个语句集$\mathrm{\Sigma }$的模型，是一个数学结构$A$，使得其满足这个语句集中的任意一条语句。

模型的同构

我们称两个模型$A=(\alpha ,P^A,\cdots ,F^A,\cdots ,c^A)$，$B=(\beta ,P^B,\cdots ,F^B,\cdots ,c^B)$是同构的，当且仅当存在一个$A$到$B$的双射$f$使得以下四点成立：

• $P^A(x_1,x_2,x_3,\cdots )$当且仅当$P^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots )$($P$为某个$n$元关系且$P^A$映射到的对象是$P^B$)

• $f(F^A(x_1,x_2,x_3,\cdots ))=F^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots )$

• $f(c^A)=c^B$

• $A\models \phi (a_1,a_2,\cdots )$当且仅当$B\models \phi (f(a_1),f(a_2),\cdots )$

子模型

我们称一个模型$A=(\alpha ,P^A,\cdots ,F^A,\cdots ,c^A)$是模型$B=(\beta ,P^B,\cdots ,F^B,\cdots ,c^B)$的子模型，当且仅当：

$\alpha \subset \beta$，$P^A\subset P^B$，$F^A\subset F^B$，$c^B\in A$且$A$在任意$A$上函数下封闭。

一个从$B$到$A$的嵌入是一个$B$和$A$的子模型$B_1$之间的同构关系。

一个$A$的子模型$B$是$A$的初等子模型，当且仅当对于任何$B$中的元素$(b_1,b_2,b_3,\cdots )$，有

$B\models \phi (b_1,b_2,b_3,\cdots )$当且仅当$A\models \phi (b_1,b_2,b_3,\cdots )$。

两个模型是基本等价的，当且仅当它们满足同样的语句(无自由变量的命题)。

一个嵌入被称为初等嵌入，当且仅当当且仅当它是一个嵌入且它的定义域是值域的初等子模型。

可定义性

我们称一个集合X是在模型A上可定义的，当且仅当存在公式 $\phi$ 和变元$a_1,a_2,...\in A$，使得

$X=\{x\in A|A\models \phi (x,a_1,a_2,...)\}$

如果这个公式 $\phi$ 只包含 $x$ 一个参数，则称 $X$ 是在 $A$ 中可定义的。

一个元素$a\in A$是可定义的，当且仅当 $\{a\}$ 是在 $A$ 上可定义的。