BEAF

Bowers' Exploding Array Function（BEAF，鲍尔斯爆炸数组函数）是由乔纳森·鲍尔斯（Jonathan Bowers）发明的一种表示极大数的符号系统，类似于链式箭头符号，但强度远超后者。它是数阵记号（Array Notation）和扩展数阵记号（Extended Array Notation）的超集，两者均由鲍尔斯发明。由于其简洁性和极快的增长速度，BEAF 在 googology 中颇具名气，更不用说那些用该函数定义的充满奇思妙想的命名数（如 golapulus 和传奇的 meameamealokkapoowa oompa——这是鲍尔斯定义的最大数之一）。然而，对于四维数阵以上的符号系统，目前尚无统一认可的定义。因此，严格来说，四维数阵以上的 BEAF 是未明确定义的，而四维数阵及以下的 BEAF 则是定义明确的。

尽管克里斯·伯德（Chris Bird）和约翰·斯宾塞（John Spencer，鲍尔斯的朋友）协助构建了 BEAF，但通常认为该函数完全由鲍尔斯独立创造。

萨比斯·赛比安（Sbiis Saibian）指出，是否存在一种完全符合鲍尔斯规则的符号系统，是大数研究领域的一个未解决问题。尽管他仅直接提到五维数阵，但这一问题可能也适用于 BEAF 的其他层级。

定义

以下是对 BEAF 工作原理的大致框架性描述。如前所述，对于原始 BEAF 在四维数阵之外的扩展，目前尚未达成共识的定义，因此这并非一个完整的定义。

基（base, b）：数组的第一个元素。
主数（prime, p）：数组的第二个元素。
领航员（pilot）：主数之后第一个非 1 的元素，可能最早出现在第三个元素的位置。
副驾驶（copilot）：紧邻领航员之前的元素。若领航员是其所在行的第一个元素，则副驾驶不存在。
结构（structure）：数组中由低维组构成的部分，例如：单个元素（entry，记为 X⁰）、一行（row，X¹）、一平面（plane，X²）、一领域（realm，X³）、一流（flune，X⁴），以及更高维结构（X⁵, X⁶ 等）或超幂结构（如 X^{X^X}）。更进一步还可扩展至 5-超运算（pentational）、6-超运算（hexational）……直至超扩展运算（expandal）等结构。
之前项（previous entry）：领航员之前、且与所有其他之前项在同一行的元素。
之前行（previous row）：领航员所在行之前、且与所有其他之前行在同一平面的行。
之前平面（previous plane）：领航员所在平面之前、且与所有其他之前平面在同一领域的平面，依此类推。这些统称为“之前结构（previous structures）”。
主块（prime block）：对结构 S，将其中的所有 X 替换为 p 得到的对象。例如，若 S=X³，则主块为 p³（边长为 p 的立方体）；若 S=X^X（X 维超立方体），则主块为 p^p（边长为 p 的 p 维超立方体）。
机组（airplane）：包含领航员、所有之前项，以及所有之前结构的主块。
乘客（passengers）：机组中既非领航员也非副驾驶的元素。
数组值（value of the array）：记为 v(A)，其中 A 为数组。

规则

主数规则（Prime rule）：若 p=1，则 v(A)=b。
初始规则（Initial rule）：若不存在领航员，则 v(A)=b^p。
灾难规则（Catastrophic rule）：若上述两条规则均不适用，则执行以下操作：
- 领航员减 1；
- 副驾驶变为原数组中主数减 1 后的数组；
- 所有乘客变为 b；
- 数组其余部分保持不变。