超初等序列

超初等序列(Hyper Primitive Sequence System, HPrSS)，是一种Worm型序数记号，它是PrSS的一种扩展。

定义

一个合法的 HPrSS 表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如

$(s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n}) (n, s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n} \in ℕ, s_{1} = 1)$

的序列。

例如： $(1, 4, 6, 4)$ 和 $(1, 1, 4, 5, 1, 4)$ 都是合法的 HPrSS 表达式，而 $(1, 2, π)$ 不是。

HPrSS的合法式可分为零表达式、后继表达式和极限表达式。

对于 HPrSS 的一个极限表达式 $(s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n})$ ，定义以下术语：

对于 $m \in {1, 2, \dots, n}$ ，记 $p_{m} = \max {1 \leq p_{m} < m ∣ a_{p_{m}} < a_{m}}$ ，若这样的 $p_{m}$ 存在，则称 $a_{p_{m}}$ 为 $a_{m}$ 的父项。

如果这样的 $p_{m}$ 不存在，我们也可以把 $a_{m}$ 的父项定义为一个虚构的“第0项”，其值为 $a_{0} = 0$ 。

通俗的说， $a_{m}$ 的父项是在 $a_{m}$ 左边、最靠右的、且小于 $a_{m}$ 的项。

例如，在 $(1, 3, 5, 4, 1, 3)$ 中，4的父项是第一个3，而第二个1没有父项。

对于 $m \in {1, 2, \dots, n}$ ，记 $m_{0} = m$ ， $m_{i + 1} = p_{m_{i}}$ ， $P_{m} = {m_{i} ∣ i \geq 0}$ 我们将 $a_{m}$ 的祖先定义为所有 $a_{p} (p \in P_{m})$ 。

通俗地说，某一项的祖先是它本身、它的父项、父项的父项、父项的父项的父项……中的某一项

对于 $m \in {1, 2, \dots, n}$ ，若 $a_{m}$ 的父项是 $a_{p_{m}}$ ，则定义 $a_{m}$ 的阶差为 $d_{m} = a_{m} - a_{p_{m}}$ ;若没有父项，则定义 $a_{m}$ 的阶差为 $d_{m} = a_{m}$ 。

阶差一定是正整数。

设 $a_{m}$ 的阶差为 $d_{m}$ ，我们把 $(d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n})$ 称为 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m})$ 的阶差序列。

对于极限表达式 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m})$ ，记末项的阶差为 $d_{n}$ 。我们记序列的坏根为 $a_{r}$ ，其中 $r$ 定义如下：

若 $d_{n} \geq 1$ ，则 $r = \max {k \in P_{n} | d_{k} < d_{n}}$ 。通俗地说，序列的坏根为末项的祖先中，最靠右的，且阶差小于末项阶差的项。