沙拉数

googology中有“沙拉”这样的现象，即把若干种大数记号“组合”到一起，变成一个看上去很复杂的东西，但实际上强度没有什么变化；一般情况下，与其“原料”中的最强者相比没多少提升。

简单的混合

函数的复合

设大数函数f、g分别具有相当于Hardy层数（Hardy hierarchy，简记为HH）中$\alpha$、$\beta$的增长率，那么函数$\lambda x.g(f(x))$的HH增长率则是$\alpha +\beta$。

Goodstein强化

设有正整数上的大数函数f，且是严格增函数。 定义其Goodstein强化G(f)如下。设有序列$\{a_n|1\le n\le N\}$，其中每个$a_n$写成以f(n)为底的遗传记法，然后将每次出现的f(n)都改成f(n+1)，所得的数再减去1，就得到$a_{n+1}$。且$a_N=0$。那么$G(f)(a_1)=N$就作为G(f)的一个函数值（$a_1$是此函数的自变量，N是因变量）。

大数记号的混合

本节的定义基于大数记号。一个大数记号A应该具有以下特性：

A的表达式x可以用x[n]归约（也就是通常说的“展开”）成更“小”的表达式。

“0”表达式不能继续归约。

如果x是“后继”型的表达式，那么无论n是多少，x[n]都会得到x的前继。

序数加型混合

设有大数记号$A_1$、$A_2$。

定义混合记号$A_1\oplus A_2$如下。其表达式形如$⟨x,y⟩$，其中$x\in \{1,2\}$，y是$A_x$中的表达式。其展开方法为： $⟨x,y⟩[n]=\{\begin{array}{ll}0& ,x=1\wedge y=0\\ ⟨1,{\text{Limit}}_1[n]⟩& ,x=2\wedge y=0\\ ⟨x,y[n]⟩& ,\text{otherwise}\end{array}$

其中${\text{Limit}}_1$表示$A_1$的表达极限。

如果$A_i$的序数强度极限为${\alpha }_i$，那么$A_1\oplus A_2$的序数强度极限为${\alpha }_1+{\alpha }_2$。

注意，序数加型混合是将两个大数记号合成一个大数记号，然后它还可以继续跟自己或其它记号混合。下面的序数乘型混合、序数乘方型混合也类似。

序数乘型混合

设有大数记号$A_1$、$A_2$。

定义混合记号$A_1\otimes A_2$如下。其表达式形如$⟨x_2,x_1⟩$，其中，$x_i$是$A_i$中的表达式。其展开方法为：

$⟨x,y⟩[n]=\{\begin{array}{ll}0& ,x=0\wedge y=0\\ ⟨x[n],{\text{Limit}}_1[n]⟩& ,x\ne 0\wedge y=0\\ ⟨x,y[n]⟩& ,\text{otherwise}\end{array}$

其中${\text{Limit}}_1$表示$A_1$的表达极限。

如果$A_i$的序数强度极限为${\alpha }_i$，那么$A_1\otimes A_2$的序数强度极限为${\alpha }_1\cdot {\alpha }_2$。

序数乘方型混合

设有大数记号$A_1$、$A_2$。$A_2$中的表达式需能比较大小。

定义混合记号$A_1\uparrow A_2$如下。其表达式形如\(\langle x_1@y_1,x_2@y_2,\cdots,x_m@y_m\rangle\)，长度m为非负整数，各x_i都是A_1中的表达式，各$y_i$都是$A_2$中的表达式，且$\mathrm{\forall }i<j(y_i>y_j)$。其展开方法为：

\(\langle x_1@y_1,\cdots,x_{i-1}@y_{i-1},0@y_i,x_{i+1}@y_{i+1},\cdots,x_m@y_m\rangle=\langle x_1@y_1,\cdots,x_{i-1}@y_{i-1},x_{i+1}@y_{i+1},\cdots,x_m@y_m\rangle\)

$⟨⟩=0$

\(\langle S,x@y\rangle[n]=\langle S,x[n]@y,\text{Limit}_1[n]@y[n]\rangle\)

其中S代表任意长的“x_i@y_i”串，\text{Limit}_1表示A_1的表达极限。

如果A_i的序数强度极限为\alpha_i，那么A_1\uparrow A_2的序数强度极限为\alpha_1^{\alpha_2}。

3 worm的混合

本节的定义基于worm型记号。一个worm型记号A应该具有以下特性：

A的表达式是形如(a_1,a_2,\cdots,a_x)的序列，其中各a_i是正整数，称作项。

A的表达式之间可以比较大小。（一般是字典序）

归约（从(a_1,a_2,\cdots,a_x)[n]得到更小的表达式）的步骤包括：

从a_x出发，向左找“小”项，其间可能计算a_i\pm a_j。

找到某个a_r后，展开，其间可能计算a_i\pm a_j。

由于(a_1,a_2,\cdots,a_{x-1},a_x+1)总是展开成(a_1,a_2,\cdots,a_{x-1},a_x,\cdots)，我们可以把“展开”过程看作“先将最右项减去1，然后在其右边新增一些项”。

表达式()不能继续归约，意味着0。

最右项为1的表达式，意味着后继序数，其前继是删去最右项所得的表达式。

定义6. worm加型混合。设有worm型记号A_1,A_2,\cdots,A_m。

定义混合记号\sum_{1\le i\le m}A_i如下。其表达式形如(\langle a_1,b_1\rangle,\langle a_2,b_2\rangle,\cdots,\langle a_x,b_x\rangle)，其中\langle a_i,b_i\rangle是项，各a_i,b_i都是正整数，且a_i\le m。其展开方法为：

如果a_x>1,b_x=1，则(\langle a_1,b_1\rangle,\cdots,\langle a_{x-1},b_{x-1}\rangle,\langle a_x,1\rangle)[n]=(\langle a_1,b_1\rangle,\cdots,\langle a_{x-1},b_{x-1}\rangle,\langle a_x-1,n\rangle)。

如果a_x=b_x=1或b_x>1，表达式按照A_{a_x}的规则展开，其中

\langle a_x,b_i\rangle视作b_i

\langle <a_x,b_i\rangle视作1

\langle >a_x,b_i\rangle比较大小时视作∞，计算“此项±某数”时此项不变

如果展开的时候新增了项，原本要新增（A_{a_x}中的项）c，且不由步骤3得来，那此时将新增\langle a_x,c\rangle。

例如，(-1)-Y序列的极限是\varepsilon_0；如果将2个(-1)-Y序列以worm加型混合，所得记号的极限是\varepsilon_{\varepsilon_0}；如果将3个(-1)-Y序列以worm加型混合，所得记号的极限是\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}；依此类推。

注意，worm加型混合所得的记号不再是worm型记号，因此无法进一步与自己或其它worm型记号混合。下面的定义7也类似。

定义7. worm乘型混合。设有worm型记号A_1,A_2,\cdots,A_m。

定义混合记号\prod_{1\le i\le m}A_i如下。其表达式形如(\langle a_{1,m},\cdots,a_{1,2},a_{1,1}\rangle,\langle a_{2,m},\cdots,a_{2,2},a_{2,1}\rangle,\cdots,\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,2},a_{x,1}\rangle)，其中\langle a_{i,m},\cdots,a_{i,2},a_{i,1}\rangle是项，各a_{i,j}都是正整数。其展开方法为：

如果a_{x,1}=a_{x,2}=\cdots=a_{x,m}=1，则表达式相当于后继情形。

否则，令M=\min\{i|a_{x,i}>1\}，即表达式的最右一项为\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},a_{x,M},1,\cdots,1\rangle。

表达式按照A_M的规则展开，其中

项的大小比较为字典序

\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},b,a_{i,M-1},\cdots,a_{i,1}\rangle，计算“此项±某数”时视作b；如果展开时新增的项由此项经历修饰得来，原本要新增（A_M中的项）c，那此时应新增\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},c,a_{i,M-1},\cdots,a_{i,1}\rangle

小于\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},1,1,\cdots,1\rangle的项，计算“此项±某数”时视作1；如果展开时新增的项由此项经历修饰得来，原本要新增（A_M中的项）c，那此时应新增\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},c,1,\cdots,1\rangle

大于等于\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+2},a_{x,M+1}+1,1,1,\cdots,1\rangle的项，计算“此项±某数”时此项不变

展开前的“先将最右项减去1”，改为将最右项变为\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},a_{x,M}-1,n,\cdots,n\rangle，其中n为基本列项数。

直观上，worm加型混合的结果，其每个项的可能性（可以选取哪些数值）都相当于各“原料记号”中该项的可能性之和；而worm乘型混合的结果，其每个项的可能性都相当于各“原料记号”中该项的可能性之积。

最后，为什么没有worm乘方型混合？因为乘方型混合要涉及到同时展开多个不同的表达式（参考定义5，同时展开两个表达式），而它们每展开一轮所增加的项数不一定相等，就无法结合。