沙拉数

googology中有“沙拉”这样的现象，即把若干种大数记号“组合”到一起，变成一个看上去很复杂的东西，但实际上强度没有什么变化；一般情况下，与其“原料”中的最强者相比没多少提升。在大部分语境之下，由于其对强度本身的贡献不大，一般被称作无效的扩展。

本条目介绍几种混合不同记号的方法。

简单的混合

函数的复合

设大数函数f、g分别具有相当于Hardy层数（Hardy hierarchy，简记为HH）中$\alpha$、$\beta$的增长率，那么函数$\lambda x.g(f(x))$的HH增长率则是$\alpha +\beta$。

Goodstein强化

设有正整数上的大数函数f，且是严格增函数。 定义其Goodstein强化G(f)如下。设有序列$\{a_n|1\le n\le N\}$，其中每个$a_n$写成以f(n)为底的遗传记法，然后将每次出现的f(n)都改成f(n+1)，所得的数再减去1，就得到$a_{n+1}$。且$a_N=0$。那么$G(f)(a_1)=N$就作为G(f)的一个函数值（$a_1$是此函数的自变量，N是因变量）。

大数记号的混合

本节的定义基于大数记号。一个大数记号A应该具有以下特性：

1. A的表达式x可以用x[n]归约（也就是通常说的“展开”）成更“小”的表达式。
2. “0”表达式不能继续归约。
3. 如果x是“后继”型的表达式，那么无论n是多少，x[n]都会得到x的前继。

序数加型混合

设有大数记号$A_1$、$A_2$。

定义混合记号$A_1\oplus A_2$如下。其表达式形如$⟨x,y⟩$，其中$x\in \{1,2\}$，y是$A_x$中的表达式。其展开方法为： $⟨x,y⟩[n]=\{\begin{array}{ll}0& ,x=1\wedge y=0\\ ⟨1,{\text{Limit}}_1[n]⟩& ,x=2\wedge y=0\\ ⟨x,y[n]⟩& ,\text{otherwise}\end{array}$

其中${\text{Limit}}_1$表示$A_1$的表达极限。

如果$A_i$的序数强度极限为${\alpha }_i$，那么$A_1\oplus A_2$的序数强度极限为${\alpha }_1+{\alpha }_2$。

注意，序数加型混合是将两个大数记号合成一个大数记号，然后它还可以继续跟自己或其它记号混合。下面的序数乘型混合、序数乘方型混合也类似。

序数乘型混合

设有大数记号$A_1$、$A_2$。

定义混合记号$A_1\otimes A_2$如下。其表达式形如$⟨x_2,x_1⟩$，其中，$x_i$是$A_i$中的表达式。其展开方法为：

$⟨x,y⟩[n]=\{\begin{array}{ll}0& ,x=0\wedge y=0\\ ⟨x[n],{\text{Limit}}_1[n]⟩& ,x\ne 0\wedge y=0\\ ⟨x,y[n]⟩& ,\text{otherwise}\end{array}$

其中${\text{Limit}}_1$表示$A_1$的表达极限。

如果$A_i$的序数强度极限为${\alpha }_i$，那么$A_1\otimes A_2$的序数强度极限为${\alpha }_1\cdot {\alpha }_2$。

序数乘方型混合

设有大数记号$A_1$、$A_2$。$A_2$中的表达式需能比较大小。

定义混合记号$A_1\uparrow A_2$如下。其表达式形如\(\langle x_1@y_1,x_2@y_2,\cdots,x_m@y_m\rangle\)，长度m为非负整数，各x_i都是A_1中的表达式，各$y_i$都是$A_2$中的表达式，且$\mathrm{\forall }i<j(y_i>y_j)$。其展开方法为：

1. \(\langle x_1@y_1,\cdots,x_{i-1}@y_{i-1},0@y_i,x_{i+1}@y_{i+1},\cdots,x_m@y_m\rangle=\langle x_1@y_1,\cdots,x_{i-1}@y_{i-1},x_{i+1}@y_{i+1},\cdots,x_m@y_m\rangle\)
2. $⟨⟩=0$
3. \(\langle S,x@y\rangle[n]=\langle S,x[n]@y,\text{Limit}_1[n]@y[n]\rangle\)

其中S代表任意长的“\(x_i@y_i\)”串，${\text{Limit}}_1$表示$A_1$的表达极限。

如果$A_i$的序数强度极限为${\alpha }_i$，那么$A_1\uparrow A_2$的序数强度极限为${\alpha }_1^{{\alpha }_2}$。

worm的混合

本节的定义基于worm型记号。一个worm型记号A应该具有以下特性：

1.A的表达式是形如$(a_1,a_2,\cdots ,a_x)$的序列，其中各$a_i$是正整数，称作项。

2.A的表达式之间可以比较大小。（一般是字典序）

3.归约（从$(a_1,a_2,\cdots ,a_x)[n]$得到更小的表达式）的步骤包括：

①从$a_x$出发，向左找“小”项，其间可能计算$a_i\pm a_j$。

②找到某个$a_r$后，展开，其间可能计算$a_i\pm a_j$。

③由于$(a_1,a_2,\cdots ,a_{x-1},a_x+1)$总是展开成$(a_1,a_2,\cdots ,a_{x-1},a_x,\cdots )$，我们可以把“展开”过程看作“先将最右项减去1，然后在其右边新增一些项”。

4.表达式()不能继续归约，意味着0。

5.最右项为1的表达式，意味着后继序数，其前继是删去最右项所得的表达式。

worm加型混合

设有worm型记号$A_1,A_2,\cdots ,A_m$。

定义混合记号$\sum _{1\le i\le m}{A}_i$如下。其表达式形如$(⟨a_1,b_1⟩,⟨a_2,b_2⟩,\cdots ,⟨a_x,b_x⟩)$，其中$⟨a_i,b_i⟩$是项，各$a_i,b_i$都是正整数，且$a_i\le m$。其展开方法为：

如果$a_x>1,b_x=1$，则$(⟨a_1,b_1⟩,\cdots ,⟨a_{x-1},b_{x-1}⟩,⟨a_x,1⟩)[n]=(⟨a_1,b_1⟩,\cdots ,⟨a_{x-1},b_{x-1}⟩,⟨a_x-1,n⟩)$。

如果$a_x=b_x=1$或$b_x>1$，表达式按照$A_{a_x}$的规则展开，其中

1. $⟨a_x,b_i⟩$视作b_i
2. $⟨<a_x,b_i⟩$视作1
3. $⟨>a_x,b_i⟩$比较大小时视作∞，计算“此项±某数”时此项不变
4. 如果展开的时候新增了项，原本要新增（$A_{a_x}$中的项）c，且不由步骤3得来，那此时将新增$⟨a_x,c⟩$。

例如，(-1)-Y序列的极限是${\epsilon }_0$；如果将2个(-1)-Y序列以worm加型混合，所得记号的极限是${\epsilon }_{{\epsilon }_0}$；如果将3个(-1)-Y序列以worm加型混合，所得记号的极限是${\epsilon }_{{\epsilon }_{{\epsilon }_0}}$；依此类推。

注意，worm加型混合所得的记号不再是worm型记号，因此无法进一步与自己或其它worm型记号混合。

worm乘型混合

设有worm型记号$A_1,A_2,\cdots ,A_m$。

定义混合记号$\prod _{1\le i\le m}{A}_i$如下。其表达式形如$(⟨a_{1,m},\cdots ,a_{1,2},a_{1,1}⟩,⟨a_{2,m},\cdots ,a_{2,2},a_{2,1}⟩,\cdots ,⟨a_{x,m},\cdots ,a_{x,2},a_{x,1}⟩)$，其中$⟨a_{i,m},\cdots ,a_{i,2},a_{i,1}⟩$是项，各$a_{i,j}$都是正整数。其展开方法为：

如果$a_{x,1}=a_{x,2}=\cdots =a_{x,m}=1$，则表达式相当于后继情形。

否则，令$M=\min \{i|a_{x,i}>1\}$，即表达式的最右一项为$⟨a_{x,m},\cdots ,a_{x,M+1},a_{x,M},1,\cdots ,1⟩$。

表达式按照$A_M$的规则展开，其中

1. 项的大小比较为字典序
2. $⟨a_{x,m},\cdots ,a_{x,M+1},b,a_{i,M-1},\cdots ,a_{i,1}⟩$，计算“此项±某数”时视作b；如果展开时新增的项由此项经历修饰得来，原本要新增（$A_M$中的项）c，那此时应新增$⟨a_{x,m},\cdots ,a_{x,M+1},c,a_{i,M-1},\cdots ,a_{i,1}⟩$
3. 小于$⟨a_{x,m},\cdots ,a_{x,M+1},1,1,\cdots ,1⟩$的项，计算“此项±某数”时视作1；如果展开时新增的项由此项经历修饰得来，原本要新增（$A_M$中的项）c，那此时应新增$⟨a_{x,m},\cdots ,a_{x,M+1},c,1,\cdots ,1⟩$
4. 大于等于$⟨a_{x,m},\cdots ,a_{x,M+2},a_{x,M+1}+1,1,1,\cdots ,1⟩$的项，计算“此项±某数”时此项不变
5. 展开前的“先将最右项减去1”，改为将最右项变为$⟨a_{x,m},\cdots ,a_{x,M+1},a_{x,M}-1,n,\cdots ,n⟩$，其中n为基本列项数。

直观上，worm加型混合的结果，其每个项的可能性（可以选取哪些数值）都相当于各“原料记号”中该项的可能性之和；而worm乘型混合的结果，其每个项的可能性都相当于各“原料记号”中该项的可能性之积。

最后，为什么没有worm乘方型混合？因为乘方型混合要涉及到同时展开多个不同的表达式，而它们每展开一轮所增加的项数不一定相等，就无法结合。