非递归化序列记号

本词条介绍将部分序列记号改造为非递归记号的通用办法。

定义

对于极限基本列为 $1,2$、$1,3$、$1,4$……的，且存在坏根、好部、坏部的序列型记号，可以按照如下方法将其转换为非递归记号：

1. 末项为 1，则为后继；
2. 否则，在序列最前方补一个 1，随后按该记号规则找到坏根，如果坏根不是补的那个1，则按照该记号规则正常展开；
3. 否则，将末项 - 1，随后在后面加一个 ω，并视为非递归展开。

举例：

非递归化的 LPrSS 中，$3,4$，末项不是 1，在最前补一个 1，得到 $1,3,4$，找到坏根为第二项 3，于是正常展开为 $3,3,3,3,\cdots$

非递归化的 Y 序列中，$3,7$，末项不是 1，在最前补一个 1，得到 $1,3,7$，找到坏根为首项 1，于是变为 $3,6,\omega$，并视为非递归展开。

这类非递归记号与非递归 BMS 的理念均相同，是对该记号的极限 S，如果存在一个 X 使得 $\psi (X)=S$，则令任意的 ${\psi }_{\alpha }(X)=\alpha$。

强度

这些非递归记号的表示能力取决于原记号的强度。如：

• 非递归 -1-Y 和非递归 LPrSS 的极限均为 ${\mathrm{\Omega }}^{\omega }$
• 非递归 HSS 的极限为 ${\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}$
• 非递归 HPrSS 的极限为 ${\mathrm{\Omega }}_{\omega }$
• 非递归 0-Y 与 非递归 BMS 强度相同，均为向上投影的 ${\psi }_H({\epsilon }_{H+1})$
• 非递归 Y 序列的强度很高，目前仍不知道它和向上投影的关系