投影序数

投影序数（projection）是 test_alpha0 创造的非递归记号。投影序数是目前为止最方便的强大非递归序数表达方式，伴生的限制则是——它很有可能永远无法良定义（至少在比较小的序数处如此）。但即使如此，它可以作为非递归序数和递归记号的交接桥梁，并在国内大数社群广泛地被使用。

定义

第一个 2-投影序数

我们定义 1-投影序数（1-proj.）就是传统的非递归序数。

2-proj. 是一系列很大的非递归序数。它们被认为是 $a{<}_{{\mathrm{\Sigma }}_1}Ord$。第 n 个$2\text{-proj.}$被写作 $a_n$。现在让我们把 $a$ 放进 OCF 里：

• ${\psi }_a(0)=\mathrm{\Omega }$
• ${\psi }_a(X+1)={\psi }_a(X)\times \omega$
• ${\psi }_a(X\sim a)=\beta \to \psi (X\sim \beta )\text{不动点}$，其中 ~ 是任意运算或者是任意递归函数

到这里，${\psi }_a$ 和 ${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_2}$ 还没有区别，区别在下面这一条：

如果 β 是非 2-proj. 的 1-proj.，则 ${\psi }_a(X\sim \beta )=\bigcup _{\gamma <\beta }{\psi }_a(X\sim \gamma )$，其中 ~ 是任意运算或者是任意递归函数

这条规则乍一看平平无奇，但是注意，a 的下一个 Ω 序数，即 ${\mathrm{\Omega }}_{a+1}$，也是一个 1-proj.！这意味着，${\psi }_a({\mathrm{\Omega }}_{a+1})\ne {\psi }_a({\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{a+1}}({\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{a+1}}({\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{a+1}}(\cdots ))))$，而是等于 $\sup \{{\psi }_a(a),{\psi }_a(a^a),{\psi }_a({\epsilon }_{a+1}),{\psi }_a({\zeta }_{a+1}),{\psi }_a({\mathrm{\Gamma }}_{a+1}),{\psi }_a(BO(a+1)),\cdots \}$。通俗的说，就是需要穷尽 a 的递归运算。投影序数能挣脱 ${\mathrm{\Omega }}_2$ 的藩篱，正是靠这个本事。但其问题也是出在这里。因为我们无法直接定义 ${\mathrm{\Omega }}_{a+1}$ 之下的所有递归运算，因此投影序数直接作为非递归记号依然是不良的。但是它作为放进 OCF 里的递归记号却是良的，因此放心使用。

更多的 2-投影序数

我们定义 ${\psi }_{a_n}$ 如下：

• ${\psi }_a(0)=\mathrm{\Omega }$
• ${\psi }_{a_{n+1}}(0)={\mathrm{\Omega }}_{a_n+1}$
• ${\psi }_{a_n}(X+1)={\psi }_{a_n}(X)\times \omega$
• ${\psi }_{a_n}(X\sim a_m)={\psi }_{a_n}(X\sim \beta \to {\psi }_{a_m}(X\sim \beta )\text{不动点})$，其中 ~ 是任意运算或者是任意递归函数，m>n
• 如果 β 是非 2-proj. 的 1-proj.，则${\psi }_{a_n}(X\sim \beta )=\bigcup _{\gamma <\beta }{\psi }_{a_n}(X\sim \gamma )$,其中~是任意运算或者是任意递归函数

它们的作用可以理解为，当你在 ${\psi }_a$ 内部需要用到 ${\mathrm{\Omega }}_{a+2},I_{a+1},M_{a+1},\cdots$ 这些东西的时候，需要 ${\psi }_{a_2}$ 来表示它们。

n-投影序数

定义 p_m 是 $m\text{th }n+1\text{-proj.}$，q 是 $\text{1st }n\text{-proj.}$，P_n 是 $n\text{-proj.}$ 的集合：

\(\begin{align} &\psi_{p_1}(0) = q \tag{1}\\ &\psi_{p_{m + 1}}(0) =n-proj. ~aft~ p_m \tag{2}\\ &\psi_{p_m}(\#\sim X_{p_m + 1}) = \sup\{\psi_{p_m}(\#\sim t) \mid t < X_{p_m + 1}, X \in P_k, k \in \{1, \ldots, n\}\} \tag{3}\\ &\psi_{p_m}(t + 1) = \psi_{p_m}(t) \times \omega \tag{4}\\ &\psi_{p_m}(\#\sim p_m) = \beta \rightarrow \psi_{p_m}(\#\sim \beta) \quad \text{Fixed Point} \tag{5} \end{align}\)

以上规则便统一定义了 $n\text{-proj.}$。

通俗的说，$(n+1)\text{-proj.}$ 之于 $n\text{-proj.}$ 的关系就如同 $a_n$ 之于 ${\mathrm{\Omega }}_n$，高阶的投影序数可以对低阶的投影序数取并，从而造就极大地表示范围。

扩展

投影有许多强大的拓展，在这里介绍投影使用最为广泛的拓展：向上投影。这个拓展可以与BMS相抗衡。

向上投影

考虑一个很大的序数H，它可以折叠“投影点”：

${\psi }_H(H)=\mathrm{\Omega }$

${\psi }_H(H\times 2)={\mathrm{\Omega }}_2$

${\psi }_H(H^2)=\alpha$

${\psi }_H(H^2+H)={\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$

${\psi }_H(H^2\times 2)={\alpha }_2$

${\psi }_H(H^3)=\beta$

${\psi }_H(H^{\omega })=\omega -\text{Projection}$

我们观察到，对于一个 ${\psi }_H(X\sim H)$，它可以“投影”${\psi }_H(X\sim (H\times 2))$ 之前的序数而不补层。比如说 ${\psi }_H(H^2)$（$\alpha$），可以“投影”${\psi }_H(H^2\times 2)$（${\alpha }_2$）以前的序数，例如 ${\psi }_H(H\times (H+1))={\psi }_H(H^2+H))$（${\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}$）。

下面我们考虑一个 (1,0)-Proj. ${\psi }_H(H^H)$，按照先前的规律，它可以“投影” ${\psi }_H(H^{H\times 2})$（(2,0)-Proj.）之前的序数而不补层。为了方便接下来的讲解，我们引入如下记号：

(a1,a2,...,an)-Proj.=${\psi }_H(H^{H^{n-1}\times a_1+H^{n-2}\times a_2+\dots +H\times a_{n-1}+a_n})$，例如 (1,1,4,5,1,4)-Proj.=$\psi (H^{H^5+H^4+H^3\times 4+H^2\times 5+H+4})$

S=(1,0)-Proj.，σ 表示升 1 阶投影（如 σS=(1,1)-Proj.），θ 表示升 (1,0) 阶投影（如 θS=(2,0)-Proj.）

一开始，${\psi }_S$函数与OCF表现得无异，有${\psi }_S(S)={\epsilon }_0$，${\psi }_S(S_{\omega })=\text{BO}$。我们注意到${\psi }_H(H^2)$投影${\psi }_H(H\times (H+1))$，于是便可以让S投影${\psi }_H(H^{H+1})$，也就是σS,因此，${\psi }_S(\sigma S)=\mathrm{\Omega }$。

接下来是Ω的递归运算：

${\psi }_S(\sigma S+1)=\mathrm{\Omega }\times \omega$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_S(\sigma S))={\mathrm{\Omega }}^2$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_S(\sigma S+{\psi }_S(\sigma S)))={\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}$

${\psi }_S(\sigma S+S)={\epsilon }_{\mathrm{\Omega }+1}$

这看起来并不强大，但是我们可以引入$S_2$让它变强。${\psi }_{S_2}(\sigma S)$表示S递归运算的上确界，而S的递归运算又会被折叠为Ω的递归运算，因此${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S))={\mathrm{\Omega }}_2$

于是，${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S)\times 2)={\mathrm{\Omega }}_3$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+1))={\mathrm{\Omega }}_{\omega }$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+S))=\mathrm{O}\mathrm{F}\mathrm{P}$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\epsilon }_{S+1}))={\psi }_I({\epsilon }_{I+1})$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S)))=I$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S)+1))=I_{\omega }$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S)\times 2))=I(1,0)$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+1)))=I(\omega ,0)$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+S)+{\psi }_{S_2}(\sigma S)))=I(1,0,0)$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S))))=M={\psi }_{\alpha }({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}^{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}})$

${\psi }_S(\sigma S+S_2)={\psi }_{\alpha }({\epsilon }_{{\mathrm{\Omega }}_{\alpha +1}+1})=\text{psd.}{\mathrm{\Pi }}_{\omega }$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_3}(\sigma S))={\psi }_{\alpha }({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +2})$

${\psi }_S(\sigma S+{\psi }_{S_3}(\sigma S+1))={\psi }_{\alpha }({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +\omega })$

……

这样下去我们将会得到${\psi }_S(\sigma S+S_{\omega })={\psi }_{\alpha }({\alpha }_{\omega })$，S只需稍微发力，便能击穿整个2-投影层级。于是我们有${\psi }_S(\sigma S\times 2)=\alpha$。

类似的，我们还可以用${\psi }_S(\sigma S\times 2+\dots )$来表示3-投影层级，直到${\psi }_S(\sigma S\times 3)=\beta$，最终得到${\psi }_S(\sigma S\times \omega )=\omega -\text{Projection}$。这可以一直向上延伸到${\psi }_S({\epsilon }_{\sigma S+1})$。

因为${\psi }_S$函数不能投影S本身，所以${\psi }_S(S_{\sigma S+1})$会直接补层展开为${\psi }_S(\alpha \to {\psi }_{S_{\sigma S+1}}(\alpha )\mathrm{f}\mathrm{p}\mathrm{)}$。在这之后，因为S能够投影$\sigma S_2$，所以${\psi }_S(\sigma S_2)$会折叠${\psi }_S(f(\sigma S))$(类比${\psi }_{\alpha }({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +2})$)。于是就可以将刚才的路重走一遍：

${\psi }_S(\sigma S_2+\sigma S)$

${\psi }_S(\sigma S_2+{\psi }_{S_{\sigma S+1}}(S_{\sigma S+1}))$

${\psi }_S(\sigma S_2+{\psi }_{S_{\sigma S+1}}(\sigma S_2))$

${\psi }_S(\sigma S_2+S_{\sigma S+1})$

${\psi }_S(\sigma S_2+S_{\sigma S+\omega })$

${\psi }_S(\sigma S_2\times 2)$，这类似于一种更强的2-投影

${\psi }_S(\sigma S_2\times \omega )$

${\psi }_S(\sigma S_2\times \sigma S)$

${\psi }_S(\sigma S_2^2)$

${\psi }_S({\epsilon }_{\sigma S_2+1})$

${\psi }_S(\sigma S_3)$

这样走下去，我们将得到${\psi }_S(\sigma S_{\omega })$，这已经是四行BMS中的$(0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,2,2)$。

回忆一下在2-投影中走过的路，${\alpha }_{\omega }$之后，我们引入了3-投影。在这里，我们同样可以引入$\sigma \sigma S$（(1,2)-投影）来帮助我们走得更远。类比3-投影折叠2-投影，我们有${\psi }_{\sigma \sigma S}(\sigma S_{\sigma \sigma S+1}\times \omega )=\sigma S_{\omega }$，而${\psi }_{\sigma \sigma S}(\sigma S_{\sigma \sigma S+1}^2)$将会是(1,1)-投影的(1,1)-投影点。这样走下去，我们还会有${\psi }_{\sigma \sigma S}(\sigma S_{\sigma \sigma S+\omega })$、${\psi }_{\sigma \sigma S}(\sigma \sigma S_{\omega })$甚至是${\psi }_{\sigma \sigma S}({\psi }_{\theta S}(\sigma \theta S\times \omega ))$等等。

终结这一切的是${\psi }_S(\sigma \sigma S)$，因为$\sigma \sigma S$是${\psi }_H(H^{H+2})$，可以被S投影，所以这是一切$\psi ({\psi }_{\sigma \sigma S}(\alpha ))$的上确界。于是我们可以继续得到：

${\psi }_S(\sigma \sigma S+S)$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma S))$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+{\psi }_{S_2}({\psi }_{\sigma \sigma S}(\sigma S_{\sigma \sigma S+1}\times \omega )))$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+{\psi }_{S_2}(\sigma \sigma S))$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+S_2)$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+\sigma S)$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+{\psi }_{S_{\sigma S+1}}(\sigma \sigma S))$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+S_{\sigma S+1})$

${\psi }_S(\sigma \sigma S+S_{\sigma S+\omega })$

${\psi }_S(\sigma \sigma S\times 2)$

${\psi }_S(\sigma \sigma S^2)$

${\psi }_S(S_{\sigma \sigma S+1})$

${\psi }_S(\sigma S_{\sigma \sigma S+1})$

${\psi }_S(\sigma \sigma S_2)$

${\psi }_S(\sigma \sigma S_{\omega })$

${\psi }_S({\psi }_{\sigma \sigma \sigma S}(\sigma \sigma S_{\sigma \sigma \sigma S+1}^2))$

${\psi }_S({\psi }_{\sigma \sigma \sigma S}(\sigma \sigma \sigma S_{\omega }))$

${\psi }_S(\sigma \sigma \sigma S)$

${\psi }_S({\sigma }^{\omega }S)$

……

至此，向上投影已经用出了全部的(1,n)-投影，S的层级似乎已经达到了极限，于是我们继续引入(2,0)-投影$\theta S$。类似于之前的(1,0)-投影，有${\psi }_{\theta S}(\sigma \theta S\times \omega )={\sigma }^{\omega }S$。(2,0)-投影折叠到(1,0)-投影，(3,0)-投影折叠到(2,0)-投影，最后的${\theta }^{\omega }S$，已经达到了$(0)(1,1,1,1)(2,2,2,2)$。

想要打败QSS，仅仅使用(n,0)-投影是不够的。引入更强的(a,b,c,d,....)-投影，才能够打败QSS。

[WIP:(1,0,0)-投影的行为]

在 OCF 中的行为

TO DO: 在 OCF 中的行为

枚举和强度分析

主词条：投影序数 VS 反射稳定，非递归 BMS 分析，投影序数 VS 方括号稳定

对投影序数的强度分析是极端重要的。因为投影序数类似递归记号的规则必须通过扽西才能被人理解。本词条仅列出关键节点。

投影序数	反射稳定	非递归 BMS
${\psi }_a(0)$	$\mathrm{\Omega }$	$(1,1)$
${\psi }_a(a)$	${\epsilon }_{\mathrm{\Omega }+1}$	$(1,1)(2,2)$
${\psi }_a({\mathrm{\Omega }}_{a+1})$	${\mathrm{\Omega }}_2$	$(1,1,1)$
${\psi }_a({\mathrm{\Omega }}_{a+1}+a)$	${\epsilon }_{{\mathrm{\Omega }}_2+1}$	$(1,1,1)(2,2)$
${\psi }_a({\mathrm{\Omega }}_{a+1}2)$	${\mathrm{\Omega }}_3$	$(1,1,1)(2,2,1)$
${\psi }_a({\mathrm{\Omega }}_{a+1}^2)$	$21-2$	$(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)$
${\psi }_a({\mathrm{\Omega }}_{a+1}^{{\mathrm{\Omega }}_{a+1}})$	$2-2$	$(1,1,1)(2,2,1)(3,2,1)(4,2,1)$
${\psi }_a(a_2)$	$\lambda \alpha .(\alpha +1)-{\mathrm{\Pi }}_0$	$(1,1,1)(2,2,1)(3,3)$
${\psi }_a({\mathrm{\Omega }}_{a_2+1})$	$\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +2})-{\mathrm{\Pi }}_1$	$(1,1,1)(2,2,1)(3,3,1)$
${\psi }_a(a_{\omega })$	$\omega -\pi -{\mathrm{\Pi }}_0$	$(1,1,1)(2,2,2)$
$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{a_{\omega }+1})$	$\omega -\pi -{\mathrm{\Pi }}_1$	$(1,1,1)(2,2,2)(3,2,1)$
${\psi }_a({\psi }_b(a_{b+1}^{\omega }))$	$\lambda \alpha .(psd.{\mathrm{\Pi }}_0[\omega ])-{\mathrm{\Pi }}_0$	$(1,1,1)(2,2,2)(3,2,2)(4,2,2)(4)$
${\psi }_a({\psi }_b({\epsilon }_{a_{b+1}+1}))$		$(1,1,1)(2,2,2)(3,3)$
${\psi }_a({\psi }_b({\mathrm{\Omega }}_{a_{b+1}+1}))$		$(1,1,1)(2,2,2)(3,3,1)$
${\psi }_a({\psi }_b(a_{b+2}))$		$(1,1,1)(2,2,2)(3,3,2)$
${\psi }_a({\psi }_b(b_{\omega }))$		$(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)$
${\psi }_a(\omega -proj.)$		$(1,1,1)(2,2,2,1)$
$a$		$(1,1,1,1)$
${\mathrm{\Omega }}_{a+1}$		$(1,1,1,1)(2,2,1)$
$a_2$		$(1,1,1,1)(2,2,1,1)$
$b$		$(1,1,1,1)(2,2,2,1)$
$b_2$		$(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,1,1)(3,3,2,1)$
$c$		$(1,1,1,1)(2,2,2,1)(2,2,2,1)$
$\omega -projection$		$(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3)$