不可达基数的独立性

本篇文章在ZFC+“对于任何基数，都存在一个其后的不可达基数”环境下工作，以证明“存在一个不可达基数”这个命题独立于ZFC

由tarski给出的不可达基数公理，考虑第一个不可达基数k，则Vk|=ZFC

引理：若k是不可达基数，则V_k|=ZFC

证明：外延公理：Vk的元素都是集合，所有它们自然满足外延

配对公理：对于任意a，b∈Vk，我们都可以找到a，b∈某个Va，则｛a，b｝∈V_a+1⊂V，所以自然满足

分离公理模式：对于任意a∈Vk，我们都可以得到它是某个V_a+1的元素，则任意z∈a都是V_a的元素，a的任意子集应该都是V_a+1的元素，所以自然满足

正则公理模式：考虑任意非空集S∈Vk，以及任意x∈S，因为S可以确定其中任意元素的rank，所以取S中rank最低的元素x(由于ord上存在一个良序，所以任意序数类的子类都有这个良序的最小元，rank是序数，取全体S中元素的rank序数构成一个类即可)，则不存在y∈S使得y∈x，否则y的rank应该低于x，矛盾，所以存在x∈S使得x∩S为空，得以证明

幂集公理：由前面可得任意x∈Va(a＜k)，任意x的子集都在Va中，则P(x)∈V_a+1

并集公理：考虑任意x∈Va(a＜k)而言，它们的任意元素u都在某个Vb(b＜a)中，任意u的元素都在某个Vc(c＜b)中，则V_c+1中存在x的并集

无穷公理：ω是Vk的元素

替代公理模式：由k是不可达得到k是beth不动点，则k=|Vk|，则对于任意X∈Va(a＜k)，则对于任意映射f：X→A，A⊂Vk，则|A|≤|X|＜|Vk|，所以存在某个b使得不存在A的元素属于Vb，则A是Vb的元素，则A∈Vk

选择公理：任意a=｛a_n：n∈b｝∈Vk，则a∈Vc(c＜k)，则存在某个Vd(d＜c)包含的任意a_n的元素，则一定存在一个集合使得它是Ua_n：n∈b的子集，得证

进一步可以得到Vk|=ZFC+不存在不可达基数，考虑第二个不可达基数y则可以得到Vy|=ZFC+存在一个不可达基数

于是，得证：命题“存在一个不可达基数”独立于ZFC