皮亚诺公理体系

Peano 公理是定义自然数集合及其基本性质的一组公理。

定义

用数学语言（一阶逻辑与集合论）可形式化表述如下：

设 $N$ 为一个集合，$0\in N$ 为其一个特定元素，$s:N\to N$为一个函数（称为“后继函数”），满足以下五条公理：

1. $0\in N$（0 是自然数）
2. $\mathrm{\forall }n\in N,s(n)\in N$（后继函数的封闭性）
3. $\mathrm{\forall }n\in N,s(n)\ne 0$（0 不是任何自然数的后继）
4. $\mathrm{\forall }n,m\in N,s(n)=s(m)\Rightarrow n=m$（后继函数的单射性）
5. $\mathrm{\forall }P\subseteq N,(0\in P\wedge \mathrm{\forall }n\in P(s(n)\in P))\Rightarrow P=N$（数学归纳公理）

历史

• 1888 年，理查德·戴德金（Richard Dedekind）在论文《什么是数，什么应该是数？》（Was sind und was sollen die Zahlen?）中，通过“链”的概念（由基元素通过后继关系生成）结合归纳法，首次系统阐述自然数的连续性，为皮亚诺的工作奠定基础。
• 1889 年，朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）在著作《算术原理：新方法阐述》（Arithmetices principia, nova methodo exposita）中，首次系统提出自然数的公理化定义，后继函数（successor function）成为其核心概念之一。
• 后续发展中，伯特兰·罗素与阿尔弗雷德·怀特海在《数学原理》（Principia Mathematica，1910-1913）中将其纳入类型论框架，试图将算术还原为逻辑。

逻辑框架方面，皮亚诺原初的二阶逻辑归纳公理（量化所有性质）被弱化为一阶逻辑的公理模式（仅覆盖可定义性质），形成标准的一阶皮亚诺算术（PA），成为现代数学基础的核心系统。