Catching

（待补充）

Hyp cos 的定义与分析

分析 - BEAF、FGH 和 SGH（第 1 部分）

你认为 SGH 第一次追上 FGH 是在 LVO 还是 $\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega })$？

你认为 BEAF 中军团的极限是 LVO 吗？

We used to think the limit of a legion of BEAF is LVO, which "happens to be" the first catching ordinal some people think. Now we know the real catching ordinal, so let's analysis BEAF again. I hope to see the real strength of BEAF. Maybe it's stronger than BAN.

Let's go.

Linear arrays

在 SGH 中，$g_{\alpha }(n)$ 中的 n 从不会改变因为 $g_{\alpha +1}(n)=g_{\alpha }(n)+1$ 和 $g_{\alpha }(n)=g_{\alpha [n]}(n)$（对于极限序数）。那么 SGH 中的 ω 总是代表 n 它们可以自由地变为 n，并且 ω 在 SGH 中是“无序的”。在 FGH 和 HH 中我们不能这样做，因为 n 正在变化。

BEAF	FGH	SGH 序数
{n,n,2}	$f_3(n)$	${\epsilon }_0$
{n,n+1,2}	$f_3(n+1)\approx f_2{f}_3(n)$	${\epsilon }_0^{\omega }$
{n,2n,2}	$f_3(2n)\approx f_2^n{f}_3(n)$	${\epsilon }_1$
{n,{n,n,2},2}={n,3,3}	$f_3^2(n)$	${\epsilon }_{{\epsilon }_0}$
{n,n,3}	$f_4(n)$	${\zeta }_0$
{n,n+1,3}	$f_4(n+1)\approx f_3{f}_4(n)$	${\epsilon }_{{\zeta }_0+1}$
{n,2n,3}	$f_4(2n)\approx f_3^n{f}_4(n)$	${\zeta }_{{\zeta }_0}$
{n,n,4}	$f_5(n)$	$\phi (3,0)$
{n,n,n}	$f_{\omega }(n)$	$\phi (\omega ,0)$
{n,n,n+1}	$f_{\omega }(n+1)$	$\phi (\omega +1,0)$ （ω+1 可以变为 1+ω 和 n+1，因为它是无序的）
{n,n,2n}	$f_{\omega }(2n)$	$\phi (\omega 2,0)$
{n,n,{n,n,n}}={n,3,1,2}	$f_{\omega }^2(n)$	$\phi (\phi (\omega ,0),0)$
{n,n,1,2}	$f_{\omega +1}(n)$	${\mathrm{\Gamma }}_0$
{n,n+1,1,2}	$f_{\omega +1}(n+1)\approx f_{\omega }{f}_{\omega +1}(n)$	$\phi ({\mathrm{\Gamma }}_0,{\mathrm{\Gamma }}_0+1)$
{n,2n,1,2}	$f_{\omega +1}(2n)\approx f_{\omega }^n{f}_{\omega +1}(n)$	${\mathrm{\Gamma }}_1$
{n,3,2,2}	$f_{\omega +1}^2(n)$	${\mathrm{\Gamma }}_{{\mathrm{\Gamma }}_0}$
{n,n,2,2}	$f_{\omega +2}(n)$	$\phi (1,1,0)$
{n,n,3,2}	$f_{\omega +3}(n)$	$\phi (1,2,0)$
{n,n,n,2}	$f_{\omega 2}(n)$	$\phi (1,\omega ,0)$
{n,n,2n,2}	$f_{\omega 2}(2n)$	$\phi (1,\omega 2,0)$
{n,3,1,3}	$f_{\omega 2}^2(n)$	$\phi (1,\phi (1,\omega ,0),0)$
{n,n,1,3}	$f_{\omega 2+1}(n)$	$\phi (2,0,0)$
{n,n,2,3}	$f_{\omega 2+2}(n)$	$\phi (2,1,0)$
{n,n,1,4}	$f_{\omega 3+1}(n)$	$\phi (3,0,0)$
{n,n,n,n}	$f_{{\omega }^2}(n)$	$\phi (\omega ,0,0)$
{n,n,1,1,2}	$f_{{\omega }^2+1}(n)$	$\phi (1,0,0,0)$
{n,n,2,1,2}	$f_{{\omega }^2+2}(n)$	$\phi (1,0,1,0)$
{n,n,1,2,2}	$f_{{\omega }^2+\omega +1}(n)$	$\phi (1,1,0,0)$
{n,n,1,1,3}	$f_{{\omega }^{2}2+1}(n)$	$\phi (2,0,0,0)$
{n,n,1,1,1,2}	$f_{{\omega }^3+1}(n)$	$\phi (1,0,0,0,0)$
{n,n,1,1,1,1,2}	$f_{{\omega }^4+1}(n)$	$\phi (1,0,0,0,0,0)$
{n,n(1)2}={n,2,1,...1,2} 2 a.p n+1	$f_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega })$
{n,3,1,...1,2} 2 a.p n+1	$f_{{\omega }^n}{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega },1)$
{n,n,1,...1,2} 2 a.p n+1	$f_{{\omega }^n}^n{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega },\omega )$
{n,3,2,...1,2} a.p n+1	$f_{{\omega }^n+1}{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega },\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }))$
{n,n,2,...1,2} a.p n+1	$f_{{\omega }^n+1}^n{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+1)$
{n,n,3,...1,2} 2 a.p n+1	$f_{{\omega }^n+2}^n{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+2)$
{n,n,n,1,...1,2} 2 a.p n+1	$f_{{\omega }^n+n}{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\omega )$
{n,n,1,2,1,...1,2} a.p n+1	$f_{{\omega }^n+\omega }^n{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\mathrm{\Omega })$
{n,n,n,2,1,...1,2} a.p n+1	$f_{{\omega }^n+\omega +n}{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\mathrm{\Omega }+\omega )$
{n,n,1,3,1,...1,2} 2 a.p n+1	$f_{{\omega }^n+\omega 2}^n{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\mathrm{\Omega }2)$
{n,n,1,n,1,...1,2} 2 a.p n+1	$f_{{\omega }^n+\omega n}{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\mathrm{\Omega }\omega )$
{n,n,1,1,2,1,...1,2} a.p n+1	$f_{{\omega }^n+{\omega }^2}^n{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2)$
{n,n,1,1,1,2,1,...1,2} a.p n+1	$f_{{\omega }^n+{\omega }^3}^n{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^3)$
{n,n,1,...1,3} 3 a.p n+1	$f_{{\omega }^{n}2}{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }2)$
{n,n,1,...1,4} 4 a.p n+1	$f_{{\omega }^{n}3}{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }3)$
{n,n+1(1)2}={n,n,n,...n} a.p n+1	$f_{{\omega }^{\omega }}(n+1)\approx f_{{\omega }^{n}n}{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }\omega )$
{n,n,1,...1,2} 2 a.p n+2	$f_{{\omega }^{n+1}}^n{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega +1})$
{n,n+2(1)2}={n,n,n,...n} a.p n+2	$f_{{\omega }^{\omega }}(n+2)\approx f_{{\omega }^{n+1}n}{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega +1}\omega )$
{n,n,1,...1,2} 2 a.p n+3	$f_{{\omega }^{n+2}}^n{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega +2})$
{n,2n(1)2}	$f_{{\omega }^{\omega }}(2n)\approx f_{{\omega }^{2n}}{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega 2})$
{n,{n,n,2}(1)2}	$f_{{\omega }^{\omega }}{f}_3(n)\approx f_{{\omega }^{f_3(n)}}{f}_{{\omega }^{\omega }}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{{\epsilon }_0})$
{n,3,2(1)2}	$f_{{\omega }^{\omega }}^2(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega })})$
{n,4,2(1)2}	$f_{{\omega }^{\omega }}^3(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega })})})$
{n,n,2(1)2}	$f_{{\omega }^{\omega }+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }})$

当 SGH 将其部分序数从 2,3,4,… 增长到 ω（这一新点被称为“活跃点”）时，若同时 FGH 的序数增长至一个极限序数，那么 FGH 序数增加 1 的操作会将 SGH 的活跃点（即新的 ω）通过序数塌缩函数转换为 Ω。

从维度到四维数阵

问题：θ(Ω^Ω) 的活跃点是什么？我找不到任何 ω 的踪迹。

回答：在序数塌缩函数中，Ω 表示 ω 的嵌套（或 SGH 中的 n 层嵌套）。例如，θ(Ω^θ(Ω^Ω),θ(Ω^Ω)+1) 表示 ω+1 层嵌套（或 SGH 中的 n+1 层嵌套），而 θ(Ω^Ω,1) 则表示 ω2 层嵌套（或 SGH 中的 2n 层嵌套）。

BEAF	FGH	SGH 序数
{n,2n,2(1)2}	$f_{{\omega }^{\omega }+1}(2n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }},1)$
{n,n,3(1)2}	$f_{{\omega }^{\omega }+2}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}+1)$
{n,n,4(1)2}	$f_{{\omega }^{\omega }+3}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}+2)$
{n,n,n(1)2}	$f_{{\omega }^{\omega }+\omega }(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}+\omega )$
{n,n,1,2(1)2}	$f_{{\omega }^{\omega }+\omega +1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}+\mathrm{\Omega })$
{n,n,1,3(1)2}	$f_{{\omega }^{\omega }+\omega 2+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}+\mathrm{\Omega }2)$
{n,n,1,1,2(1)2}	$f_{{\omega }^{\omega }+{\omega }^2+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}+{\mathrm{\Omega }}^2)$
{n,n(1)3}	$f_{{\omega }^{\omega }2}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}+{\mathrm{\Omega }}^{\omega })$
{n,n,2(1)3}	$f_{{\omega }^{\omega }2+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}2)$
{n,n,2(1)4}	$f_{{\omega }^{\omega }3+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}3)$
{n,n(1)n}	$f_{{\omega }^{\omega +1}}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}\omega )$
{n,n(1)1,2}	$f_{{\omega }^{\omega +1}+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }+1})$
{n,n(1)1,3}	$f_{{\omega }^{\omega +1}2+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }+1}2)$
{n,n(1)1,1,2}	$f_{{\omega }^{\omega +2}+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }+2})$
{n,n(1)1,1,1,2}	$f_{{\omega }^{\omega +3}+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }+3})$
{n,n(1)(1)2}	$f_{{\omega }^{\omega 2}}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }+\omega })$
{n,n,2(1)(1)2}	$f_{{\omega }^{\omega 2}+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }2})$
{n,n,2(1)(1)(1)2}	$f_{{\omega }^{\omega 3}+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }3})$
{n,n(2)2}=X^2&n	$f_{{\omega }^{{\omega }^2}}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }\omega })$
{n,n,2(2)2}	$f_{{\omega }^{{\omega }^2}+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^2})$
{n,n(3)2}=X^3&n	$f_{{\omega }^{{\omega }^3}}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^2\omega })$
{n,n(0,1)2}=X^X&n	$f_{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{\omega }})$
{n,n,2(0,1)2}	$f_{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}})$
{n,n,2(0,1)3}	$f_{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}2+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}}2)$
{n,n,2(0,1)(0,1)2}	$f_{{\omega }^{{\omega }^{\omega }2}+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}2})$
{n,n,2(1,1)2}	$f_{{\omega }^{{\omega }^{\omega +1}}+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }+1}})$
{n,n,2(0,2)2}	$f_{{\omega }^{{\omega }^{\omega 2}}+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }2}})$
{n,n,2(0,0,1)2}	$f_{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^2}}+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^2}})$
{n,n,2((1)1)2}	$f_{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}}+1}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }}}})$
{n,n((0,1)1)2}=X^X^X^X&n	$f_{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}}}}(n)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{\omega }}}})$
X^^X&n	$f_{{\epsilon }_0}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{\mathrm{\Omega }+1})=\theta ({\theta }_1(1))$
{n,n,2(X^^X)2}	$f_{{\epsilon }_0+1}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{\mathrm{\Omega }2})=\theta ({\theta }_1(1,\mathrm{\Omega }))$
{n,n,2(X^^X)3}	$f_{{\epsilon }_{0}2+1}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{\mathrm{\Omega }2}2)$
{n,n,2(X^^X)(X^^X)2}	$f_{{\epsilon }_0^2+1}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{\mathrm{\Omega }2}^2)$
{n,n,2(X^^X*X)2}	$f_{{\epsilon }_0^{\omega }+1}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{\mathrm{\Omega }2}^{\mathrm{\Omega }})$
{n,n,2((X^^X)^2)2}	$f_{{\epsilon }_0^{{\epsilon }_0}+1}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{\mathrm{\Omega }2}^{{\epsilon }_{\mathrm{\Omega }2}})$
{n,n,2((X^^X)^X)2}	$f_{{\epsilon }_0^{{\epsilon }_0^{\omega }}+1}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{\mathrm{\Omega }2}^{{\epsilon }_{\mathrm{\Omega }2}^{\mathrm{\Omega }}})$
(X^^X)^(X^^X)&n ≈ X^^(X+1)&n	$f_{{\epsilon }_0^{{\epsilon }_0^{{\epsilon }_0}}}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{\mathrm{\Omega }2}^{{\epsilon }_{\mathrm{\Omega }2}^{{\epsilon }_{\mathrm{\Omega }+1}}})$
X^^(2X)&n	$f_{{\epsilon }_1}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{\mathrm{\Omega }2+1})$
{n,n,2(X^^(2X))2}	$f_{{\epsilon }_1+1}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{\mathrm{\Omega }3})$
X^^(3X)&n	$f_{{\epsilon }_2}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{\mathrm{\Omega }3+1})$
X^^(X^2)&n	$f_{{\epsilon }_{\omega }}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{\mathrm{\Omega }\omega })$
X^^(X^3)&n	$f_{{\epsilon }_{{\omega }^2}}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{{\mathrm{\Omega }}^2\omega })$
X^^(X^X)&n	$f_{{\epsilon }_{{\omega }^{\omega }}}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{{\mathrm{\Omega }}^{\omega }})$
X^^X^^3&n	$f_{{\epsilon }_{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}}}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{{\mathrm{\Omega }}^{{\mathrm{\Omega }}^{\omega }}})$
X^^X^^X&n=X^^^3&n	$f_{{\epsilon }_{{\epsilon }_0}}(n)$	$\theta ({\epsilon }_{{\epsilon }_{\mathrm{\Omega }+1}})$

令人惊讶的是，&n 的作用是——将 SGH 中的增长速率大致映射到 FGH 中的相同序数！

这意味着，如果一个数阵函数 p(n) 在 SGH 中的增长速率为 α，那么 p(X)&n 在 FGH 中的增长速率也约为 α（更准确地说，是 FGH 中的 ω^α）。普通数阵对 SGH 的影响，相当于（X-数阵）&n 对 FGH 的影响。

线性数阵的数阵

BEAF	FGH 序数	SGH 序数
X^^^X&n	${\zeta }_0$	$\theta ({\zeta }_{\mathrm{\Omega }+1})$
X^^^(2X)&n	${\zeta }_1$	$\theta ({\zeta }_{\mathrm{\Omega }2+1})$
X^^^^3&n	${\zeta }_{{\zeta }_0}$	$\theta ({\zeta }_{{\zeta }_{\mathrm{\Omega }+1}})$
X^^^^X&n	$\phi (3,0)$	$\theta (\phi (3,\mathrm{\Omega }+1))=\theta ({\theta }_1(3))$
{X,X,5}&n	$\phi (4,0)$	$\theta ({\theta }_1(4))$
{X,X,X}&n	$\phi (\omega ,0)$	$\theta ({\theta }_1(\omega ))$
{X,X,X}^{X,X,X}&n	$\phi (\omega ,0{)}^{\phi (\omega ,0{)}^{\phi (\omega ,0)}}$	$\theta ({\theta }_1(\mathrm{\Omega }{)}^{{\theta }_1(\mathrm{\Omega }{)}^{{\theta }_1(\omega )}})$
{X,X,X}^^X&n	${\epsilon }_{\phi (\omega ,0)+1}$	$\theta (\theta (1,{\theta }_1(\mathrm{\Omega })+1))$
{X,X,X}^^^X&n	${\zeta }_{\phi (\omega ,0)+1}$	$\theta (\theta (2,{\theta }_1(\mathrm{\Omega })+1))$
{{X,X,X},X,X}&n ≈ {X,2X,X}&n	$\phi (\omega ,1)$	$\theta (\theta (\omega ,{\theta }_1(\mathrm{\Omega })+1))$
{n,n,2({X,2X,X})2}	$\phi (\omega ,1)+1$	$\theta ({\theta }_1(\mathrm{\Omega },1))$
{n,n,2({X,3X,X})2}	$\phi (\omega ,2)+1$	$\theta ({\theta }_1(\mathrm{\Omega },2))$
{n,n,2({X,{X,X,X},X})2}	$\phi (\omega ,\phi (\omega ,0))+1$	$\theta ({\theta }_1(\mathrm{\Omega },{\theta }_1(\mathrm{\Omega })))$
{X,X,X+1}&n	$\phi (\omega +1,0)$	$\theta ({\theta }_1(\mathrm{\Omega }+1))$
{X,X,X+2}&n	$\phi (\omega +2,0)$	$\theta ({\theta }_1(\mathrm{\Omega }+2))$
{X,X,2X}&n	$\phi (\omega 2,0)$	$\theta ({\theta }_1(\mathrm{\Omega }+\omega ))$
{X,X,X^2}&n	$\phi ({\omega }^2,0)$	$\theta ({\theta }_1(\mathrm{\Omega }\omega ))$
{X,X,X^X}&n	$\phi ({\omega }^{\omega },0)$	$\theta ({\theta }_1({\mathrm{\Omega }}^{\omega }))$
{X,3,1,2}&n	$\phi (\phi (\omega ,0),0)$	$\theta ({\theta }_1({\theta }_1(\omega )))$
{X,X,1,2}&n	${\mathrm{\Gamma }}_0$	$\theta ({\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2))=\theta ({\mathrm{\Omega }}_2)$
{X,2X,1,2}&n	${\mathrm{\Gamma }}_1$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2,1))$
{X,X^X,1,2}&n	${\mathrm{\Gamma }}_{{\omega }^{\omega }}$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2,{\mathrm{\Omega }}^{\omega }))$
{X,3,2,2}&n	${\mathrm{\Gamma }}_{{\mathrm{\Gamma }}_0}$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2,{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2)))$
{X,X,2,2}&n	$\phi (1,1,0)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2+1))$
{X,3,3,2}&n	$\phi (1,1,\phi (1,1,0))$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2+1,{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2+1)))$
{X,X,3,2}&n	$\phi (1,2,0)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2+2))$
{X,X,X,2}&n	$\phi (1,\omega ,0)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2+\omega ))$
{X,3,1,3}&n	$\phi (1,\phi (1,\omega ,0),0)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2+\omega )))$
{X,X,1,3}&n	$\phi (2,0,0)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_{2}2)$
{X,X,2,3}&n	$\phi (2,1,0)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_{2}2+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_{2}2+1))$
{X,X,1,4}&n	$\phi (3,0,0)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_{2}3)$
{X,X,X,X}&n	$\phi (\omega ,0,0)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2\omega )$
{X,X,1,1,2}&n	$\phi (1,0,0,0)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^2)$
{X,X,1,1,3}&n	$\phi (2,0,0,0)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{2}2)$
{X,X,1,1,1,2}&n	$\phi (1,0,0,0,0)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^3)$
{X,X,1,1,1,1,2}&n	$\phi (1,0,0,0,0,0)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^4)$
{X,X(1)2}&n={X,X,...,X}&n 有 X 个 X ={X,2,1,...1,2}&n a.p X+1	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega })$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\omega })$
{X,X(1)2}^^X&n	${\epsilon }_{\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega })+1}$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}+{\theta }_1(1,{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }})+1))$
{{X,X(1)2},X,1,2}&n	${\mathrm{\Gamma }}_{\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega })+1}$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2,{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }})+1))$
{{X,X(1)2},X(1)2}&n={X,3,1,...1,2}&n 2 a.p X+1	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega },1)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }},1))$
{X,4,1,...1,2}&n 2 a.p X+1	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega },2)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }},2))$
{X,3,2,1,...1,2}&n a.p X+1	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega },\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }))$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }},{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2^{\omega })))$
{X,X,2,1,...1,2}&n a.p X+1	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+1)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}+1))$
{X,X,3,1,...1,2}&n 2 a.p X+1	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+2)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}+{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}+2))$
{X,X,1,2,1,...1,2}&n a.p X+1	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+\mathrm{\Omega })$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}+{\mathrm{\Omega }}_2)$
{X,X,1,1,2,1,...1,2}&n a.p X+1	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }+{\mathrm{\Omega }}^2)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}+{\mathrm{\Omega }}_2^2)$
{X,X,1,...1,3}&n 3 a.p X+1	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }2)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}+{\mathrm{\Omega }}_2^{\omega }))$
{X,X,1,...1,4}&n 4 a.p X+1	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }3)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}2+{\mathrm{\Omega }}_2^{\omega }))$
{X,X+1(1)2}&n={X,X,...X,X}&n a.p X+1	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }\omega )$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}\omega ))$
{X,3,1,...1,2}&n 2 a.p X+2	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega }\omega ))$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }}\omega )))$
{X,X,1,...1,2}&n 2 a.p X+2	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega +1})$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }+1}))$
{X,X,1,...1,3}&n 3 a.p X+2	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega +1}2)$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }+1}2))$
{X,X+2(1)2}&n	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega +1}\omega )$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }+1}\omega ))$
{X,X,1,...1,2}&n 2 a.p X+3	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega +2})$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }+2}))$
{X,X+3(1)2}&n	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega +2}\omega )$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }+2}\omega ))$
{X,2X(1)2}&n	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega 2})$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }+\omega }))$
{X,3X(1)2}&n	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega 3})$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }2+\omega }))$
{X,X^2(1)2}&n	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{{\omega }^2})$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{\mathrm{\Omega }\omega }))$
{X,X^X(1)2}&n	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{{\omega }^{\omega }})$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{{\mathrm{\Omega }}^{\omega }}))$
{X,X^^X(1)2}&n	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{{\epsilon }_0})$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{{\epsilon }_{\mathrm{\Omega }+1}}))$
{X,3,2(1)2}&n	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega })})$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2^{\omega })}))$
{X,4,2(1)2}&n	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\omega })})})$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2^{{\theta }_1({\mathrm{\Omega }}_2^{\omega })})}))$
{X,X,2(1)2}&n	$\theta ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }})$	$\theta ({\mathrm{\Omega }}_2^{{\mathrm{\Omega }}_2})$

现在可以看到，我们在这里得到的是 FGH 中的 LVO，而非军团结构。

在 Bowers 的页面中，他使用了类似“b&b&...b&b - p 次”的表达式，但 & 运算符有两个关键性质：序列性（sequence）：& 字符串不会直接输出数值，而是将这种结构捕获到外部数组中。例如，{3&3(1)3&3} 实际等于 {3,3,3(1)3,3,3}，而不是{tritri(1)tritri}=tritri。左保持性（holdleft）：位于 & 左侧的内容在解决 & 之前无法被处理。例如，triakulus=3&3&3，但它不等于 tritri&3={3,tritri(1)2}={3,3,2(1)2}。第二个性质使得这类数组难以直接解析，因此需要引入符号辅助。设 X 表示普通数组中一行 n 的符号，X₂ 表示 X-数阵中一行 X 的符号，X_k+1 表示 X_k-数组中一行 X_k 的符号。那么“b&b&...b&b - p 次”可表示为：$X_{p-1}\mathrm{\&}{X}_{p-2}\mathrm{\&}...X_2\mathrm{\&}X\mathrm{\&}b$。注意，& 字符串是分层构建的，而非线性的 X&X&...X&b！

例如，{X,n+1(1)2}&n 大约等于 {X,X(1)2}&(n+1)，远小于 {X,X+1(1)2}&n。而 X₂+1&X&n 则远超前者，因为它等价于 {X,X,...X(1)X}&n（第一行有X个X）。另外，在“{X,X,1,...1,2} 2 a.p X+2”中，位置 X+2 并非“X-数阵第二行的第二个元素”，而是 X-数阵第一行的第 X+2 个元素。需注意：X 仅表示普通数阵中一行 n 的符号，不代表包含 X 的 X-数阵中的一行；若要表示 X-数阵中的一行 X，应使用X₂。用 Bowers 的原生符号和“清晰符号”对应：triakulus=3&3&3=X₂&X&3，golapulus=110^100&10&10=X₂^100&X&10，golapulusplex=10^100&10&10&10=X₃^100&X₂&X&10。

现在是否更清晰了？

好的。接下来继续比较其他结构。