基数

基数是一类特殊的序数。

定义

我们说两个集合$A,B$等势，当且仅当在它们之间存在一个双射（一一对应），记为$|A|=|B|$。

对于任意一个序数$\alpha$而言，$\alpha$的势，记为$|\alpha |$，是与$\alpha$等势的最小序数，即

• $|\alpha |=min\{\beta \le \alpha ||\alpha |=|\beta |\}$。

一个序数$\alpha$是基数，当且仅当$\alpha =|\alpha |$。

基数上的序关系

基数的序被定义为如下形式

$|X|\le |Y|$，如果存在一个单射自$X$到$Y$.

我们同样可以定义严格序

$|X|<|Y|$表示 $|X|\le |Y|$ 且 $|X|\ne |Y|$.

例：

$|A|<|\mathfrak{𝔓}(A)|=|\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}{\}}^A|$.

有限基数和无穷基数（超限基数）

$\mathrm{\forall }n\in \omega (n=|n|)$，这意味着所有的自然数$n$都是一个基数。

从而，我们称呼一个集合$X$的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数$n\in \mathbb{\mathbb{N}}$使得

$|X|=|n|=n$

此时我们称呼$X$是有$n$个元素的。有限基数即全体自然数。

若一个基数不是有限的，则我们称它为无穷基数（超限基数）。

极限基数和后继基数

一个基数$k$是一个后继基数，当且仅当存在一个基数$\lambda$，使得$k$是最小的大于$\lambda$的基数，此时也称$k$为$\lambda$的基数后继

一个基数$k$是一个极限基数，当且仅当对于任意$\lambda <k$，$\lambda$的基数后继也小于$k$

有以下定理：

1. 若一个无穷序数是基数，我们便称之为阿列夫数；
2. ${\mathrm{\aleph }}_0=\omega =|\omega |$，$\omega$是第一个无穷基数；
3. ${\mathrm{\aleph }}_1={\omega }_1=|{\omega }_1|$，${\omega }_1$是第一个不可数基数。
4. 第一个不可数的极限基数为${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$

由此我们定义阿列夫数的递增序列

• ${\mathrm{\aleph }}_0=\omega$;
• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}={\omega }_{\alpha +1}={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$的基数后继;
• ${\mathrm{\aleph }}_{\gamma }\text{(}\gamma \text{是非零极限序数)}=\bigcup \{{\omega }_{\alpha }|\alpha <\gamma \}$.

我们称一个基数为${\mathrm{\aleph }}_0$的无穷集合是可数的（countable），一个基数不为${\mathrm{\aleph }}_0$的无穷集合是不可数的（uncountable）。

基数的运算

我们依赖集合的基本运算，来定义基数的运算。

对于两个基数$a,b$，有两个基数分别为$a,b$且互不相交的集合$A,B$，有

$a+b|A\cup B|$

$a\cdot b=|A\times B|$

$a^b=|A^B|$

其中$A^B$表示全体从$B$到$A$的映射所构成的集合。

基数有以下的运算规律：

对于任意基数$a,b,c$，有

• $a+b=b+a$;
• $a\cdot b=b\cdot a$;
• $a+(b+c)=(a+b)+c$;
• $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$;
• $(a\cdot b{)}^c=a^c\cdot b^c$;
• $a^{b+c}=a^c\cdot a^b$;
• $(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$;
• 如果$a\le b$，那么$a^c\le b^c$;
• 如果$0<b\le a$，那么$c^b\le c^a$;
• $a^0=1,1^b=b$，若c非空，$0^c=0$.

基数有如下定理：

• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\cdot {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$;
• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\beta }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\cdot {\mathrm{\aleph }}_{\beta }=max\{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha },{\mathrm{\aleph }}_{\beta }\}$.

共尾度

对于一个良序集合$(W,<)$而言，我们称序数$\alpha$为它的长度或者序型，记成$\alpha =ot(W,<)$，当且仅当它与$(\alpha ,<)$同构。

设$\alpha$是一个非零极限序数，$\alpha$的共尾度，记为$\mathrm{c}\mathrm{f}(\alpha )$，由以下等式定义：

• $\mathrm{c}\mathrm{f}(\alpha )=min\{ot(A,<)|A\subseteq \alpha \wedge \mathrm{\forall }\beta (\beta <\alpha \to \mathrm{\exists }\gamma (\gamma \in A\wedge \beta <\gamma ))\}$

即，$\mathrm{c}\mathrm{f}(\alpha )$是$\alpha$的最短的无界子集的长度。

设$\alpha \ge \gamma \ge \omega$为两个极限序数，那么以下三个命题等价：

1. $\gamma =\mathrm{c}\mathrm{f}(\alpha )$;
2. 存在从 $\gamma$ 到 $\alpha$ 的无界单增映射，并且对于任何一个 $\eta <\gamma$，任意一个从 $\eta$ 到 $\alpha$ 上的映射一定在 $\alpha$ 中有界;
3. $\gamma$ 为最小的序数$\beta$，使得存在一个严格递增的长度为 $\beta$ 的序数序列$⟨{\alpha }_{\xi }:\xi <\beta ⟩$，$\underset{\xi \to \beta }{\lim }{\alpha }_{\xi }=\alpha$.

显然，共尾度是一个极限序数且当$\alpha$为极限序数时它的共尾度是正则的。

一个基数是正则的当且仅当它的共尾度为自身。一个基数是奇异的当且仅当它不是正则的。

有如下定理：

• 所有后继基数都是正则基数。
• 所有奇异基数都是极限基数。