可构造宇宙

可构造宇宙(又称“哥德尔的可构造宇宙L”、“可构造性全域”)，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个内模型。

定义

设$U$为传递集，我们称一个$U$的子集集合$A$是在结构 $⟨U,\in ⟩$上可定义的，当且仅当存在一个公式$\varphi (x,a_1,a_2,a_3,...)$使得$X=\{x:⟨U,\in ⟩|\varphi (x,a_1,a_2,a_3,...)\}$。我们将$def(U)$表示$⟨U,\in ⟩$上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：

$L_0=\mathrm{\varnothing }$

$L_{\alpha +1}=def(L_{\alpha })$

$L_{\alpha }(\alpha$为极限序数$)={\cup }_{\beta <\alpha }{L}_{\beta }$

$L={\cup }_{\alpha \in Ord}{L}_{\alpha }$

对于任意集合$a$，若存在$L_b$使得$a\in L_b$，则称$a$是可构造的。

定理

我们可以验证，假设ZF是一致的，那么L是ZF的模型，且是一个真类，且Ord是L的子类。

L还蕴含V=L即可构造公理，以及选择公理AC和广义连续统假设GCH。并且，L是ZF最小的内模型。