稳定序数

$L_{\alpha }$是$L_{\beta }$的${\mathrm{\Sigma }}_n$初等子结构，如果任取${\mathrm{\Sigma }}_n$公式$\phi$均有单射j满足$L_{\alpha }$|=$\phi$($x_1$,$x_2$,…)等价于$L_{\beta }$|=$\phi$(j($x_1$),j($x_2$),…)，也称其为$L_{\alpha }$ ${\mathrm{\Sigma }}_n$稳定到 $L_{\beta }$

除此外，我们还有$L_{\alpha }$是$L_{\beta }$-${\mathrm{\Pi }}_n$反射用于表达一些精细的层级，其中$L_{\alpha }$${\mathrm{\Sigma }}_1$稳定到$L_{\beta }$
(如未特别说明，下文的稳定到均为${\mathrm{\Sigma }}_1$稳定到) 函数式定义:
$L_{\alpha }$是$L_{f(\alpha )}$-${\mathrm{\Pi }}_n$反射 onto X，如果任取${\mathrm{\Pi }}_n$公式$\phi$及参数$\gamma \in L_{\alpha }$和${\gamma }^{\prime }\in L_{{\alpha }^{\prime }}$ 有$L_{f(\alpha )}|=\phi (\alpha ,\gamma )\to L_{f({\alpha }^{\prime })}|=\phi ({\alpha }^{\prime },{\gamma }^{\prime })$,对于${\alpha }^{\prime }\in \alpha \cap X$

序数式定义:
$L_{\alpha }$是$L_{\beta }$-${\mathrm{\Pi }}_n$反射 onto X，如果任取${\mathrm{\Pi }}_n$公式，参数$\gamma \in \alpha$和${\gamma }^{\prime }\in {\alpha }^{\prime }$有 $L_{\beta }|=\phi (\alpha ,\gamma )\to L_{{\beta }^{\prime }}|=\phi ({\alpha }^{\prime },{\gamma }^{\prime })$，对于${\beta }^{\prime }\in \alpha$和${\alpha }^{\prime }\in \alpha \cap X$

关于函数式定义，由于$\omega$-ply的顶点下成员都是$\omega$-ply，这会到达f和$\alpha$的某种不动点，以至于无法继续行进
稳定序数有如下路径:
$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$，则任取$n\in \omega$有$\alpha \in {\mathrm{\Pi }}_n$反射序数

$\beta$是前$n\in \omega$个$\alpha$满足$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$\beta$是前$n\in {\omega }^2$个$\alpha$满足$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_1$ onto ${\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$\beta$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_1$ $ont{o}^{(1,0)}${$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2$反射是前$n\in \beta$个$\alpha$满足$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta$是前$n\in \omega$个$\alpha$满足${\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_1$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足${\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2\cap ({\mathrm{\Pi }}_1${$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}))的最小成员

$\beta$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足{n:(${\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1$$onto{)}^n${$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}}的上界，则$\beta$是(${\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_1$ $onto{)}^{(1,0)}${$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$的上界，则$\beta$是(${\mathrm{\Pi }}_2$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2$)$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_3$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_3\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足$L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$的上界，则$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员并且$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_n$反射

$\beta$是前$n\in \omega$个$\alpha$满足{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_1$ onto ({$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}))的最小成员

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}))的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的上界，则$\beta$是{$\gamma :L_{\gamma }$稳定到$L_{\gamma +1}$}$\cap$(${\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap ({\mathrm{\Pi }}_1$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}))的最小成员

$\beta$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足{n:({$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap {\mathrm{\Pi }}_1$$onto{)}^n$)}的上界，则$\beta$是({$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap {\mathrm{\Pi }}_1$$onto{)}^{(1,0)}$的最小成员

$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的最小成员

$\beta$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_1$ $ont{o}^{(1,0)}$(${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$\beta \in {\mathrm{\Pi }}_2$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的上界，则$\beta$是${\mathrm{\Pi }}_2\cap$(${\mathrm{\Pi }}_1$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员

$L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$是前$n\in \beta$个$\alpha$满足${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$}的上界，则$\beta$是{$\beta :L_{\beta }$稳定到$L_{\beta +1}$}$\cap$(${\mathrm{\Pi }}_1$ onto ${\mathrm{\Pi }}_2$ onto {$\alpha :L_{\alpha }$稳定到$L_{\alpha +1}$})的最小成员