SGH与FGH对照

本条目展示SGH与FGH的对照

$g_{{\epsilon }_0\times 2}(n)=g_{{\epsilon }_0+{\epsilon }_0[n]}(n)=(n\uparrow \uparrow n)\times 2$

\begin{align} & g_{\varepsilon_0\times\omega}(n)=g_{\varepsilon_0\times n}(n)=(n\uparrow\uparrow n)\times n\\ &g_{\varepsilon_0\times\omega^2}(n)=g_{\varepsilon_0\times\omega\times n}(n)=(n\uparrow\uparrow n)\times n^2\\ &g_{\varepsilon_0\times\omega^\omega}(n)=g_{\varepsilon_0\times\omega^n}(n)=(n\uparrow\uparrow n)\times n^n\\ &g_{\varepsilon_0\times\omega^{\omega^\omega}}(n)=(n\uparrow\uparrow n)\times (n\uparrow\uparrow3)\\ &g_{\varepsilon_0^2}(n)=g_{\varepsilon_0\times\varepsilon_0[n]}(n)=(n\uparrow\uparrow n)^2\\ &g_{\varepsilon_0^3}(n)=(n\uparrow\uparrow n)^3\\ &g_{\varepsilon_0^\omega}(n)=g_{\varepsilon_0^n}(n)=(n\uparrow\uparrow n)^n\\ &g_{\varepsilon_0^{\omega^\omega}}(n)=(n\uparrow\uparrow n)^{n^n}\\ &g_{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}(n)=(n\uparrow\uparrow n)^{n\uparrow\uparrow n}=(n\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow2\\ &g_{\varepsilon_0^{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}}(n)=(n\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow3\\ &g_{\varepsilon_1}(n)=(n\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow n\approx n\uparrow\uparrow(n\times2)\\ &g_{\varepsilon_2}(n)=((n\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow n\approx n\uparrow\uparrow(n\times3)\\ &n\uparrow\uparrow(n\times3)\sim\varepsilon_2\\ &n\uparrow\uparrow(n\times3+1)\sim\varepsilon_2^{\varepsilon_2}\\ &n\uparrow\uparrow(n\times3+2)\sim\varepsilon_2^{\varepsilon_2^{\varepsilon_2}}\\ &n\uparrow\uparrow(n\times4)\sim\varepsilon_3\\ &n\uparrow\uparrow(n\times5)\sim\varepsilon_4\\ &n\uparrow\uparrow(n^2)\sim\varepsilon_\omega\\ &n\uparrow\uparrow(n^2+1)\sim\varepsilon_\omega^{\varepsilon_\omega}\\&n\uparrow\uparrow(n^2+n)\sim\varepsilon_{\omega+1}\\&n\uparrow\uparrow(n^2\times2)\sim\varepsilon_{\omega\times2}\\&n\uparrow\uparrow(n^3)\sim\varepsilon_{\omega^2}\\&n\uparrow\uparrow(n^n)=n\uparrow\uparrow n\uparrow\uparrow2\sim\varepsilon_{\omega^\omega}\\&n\uparrow\uparrow(n^n+n)\sim\varepsilon_{\omega^\omega+1}\\&n\uparrow\uparrow(n^{n+1})\sim\varepsilon_{\omega^{\omega+1}}\\&n\uparrow\uparrow(n^{n^2})\sim\varepsilon_{\omega^{\omega^2}}\\&n\uparrow\uparrow n\uparrow\uparrow3\sim\varepsilon_{\omega^{\omega^\omega}}\\&n\uparrow\uparrow n\uparrow\uparrow n=n\uparrow\uparrow\uparrow 3\sim\varepsilon_{\varepsilon_0}\\&n\uparrow\uparrow (n\uparrow\uparrow n+n)\sim\varepsilon_{\varepsilon_0+1}\\&n\uparrow\uparrow ((n\uparrow\uparrow n)\times2)\sim\varepsilon_{\varepsilon_0\times2}\\&n\uparrow\uparrow ((n\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow 2)\approx n\uparrow\uparrow n\uparrow\uparrow(n+1)\sim\varepsilon_{\varepsilon_0^{\varepsilon_0}}\\&n\uparrow\uparrow n\uparrow\uparrow(n\times2)\sim\varepsilon_{\varepsilon_1}\\&n\uparrow\uparrow n\uparrow\uparrow(n^2)\sim\varepsilon_{\varepsilon_\omega}\\&n\uparrow\uparrow n\uparrow\uparrow n\uparrow\uparrow n=n\uparrow\uparrow\uparrow4\sim\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}\\&n\uparrow\uparrow\uparrow n\sim\zeta_0\\&(n\uparrow\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow n\sim\varepsilon_{\zeta_0+1}\\&(n\uparrow\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow (n\times2)\sim\varepsilon_{\zeta_0+2}\\&(n\uparrow\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow (n\uparrow\uparrow n)\sim\varepsilon_{\zeta_0+\varepsilon_0}\\&(n\uparrow\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow (n\uparrow\uparrow\uparrow n)\approx n\uparrow\uparrow\uparrow(n+1)\sim\varepsilon_{\zeta_0\times2}\\&(n\uparrow\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow (n\uparrow\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow n\sim\varepsilon_{\varepsilon_{\zeta_0+1}}\\&(n\uparrow\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow (n\uparrow\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow (n\uparrow\uparrow\uparrow n)\sim\varepsilon_{\varepsilon_{\zeta_0\times2}}\\&(n\uparrow\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow \uparrow n\approx n\uparrow\uparrow\uparrow(n\times2)\sim\zeta_1\\&(n\uparrow\uparrow\uparrow(n\times2))\uparrow\uparrow n\sim\varepsilon_{\zeta_1+1}\\&(n\uparrow\uparrow\uparrow(n\times2))\uparrow\uparrow (n\uparrow\uparrow\uparrow n)\sim\varepsilon_{\zeta_1+\zeta_0}\\&(n\uparrow\uparrow\uparrow(n\times2))\uparrow\uparrow (n\uparrow\uparrow\uparrow(n\times2))\sim\varepsilon_{\zeta_1\times2}\\&(n\uparrow\uparrow\uparrow(n\times2))\uparrow\uparrow \uparrow n\approx n\uparrow\uparrow\uparrow(n\times3)\sim\zeta_2\\&n\uparrow\uparrow\uparrow(n^2)\sim\zeta_\omega\\&n\uparrow\uparrow\uparrow(n^n)\sim\zeta_{\omega^\omega}\\&n\uparrow\uparrow\uparrow(n\uparrow\uparrow n)\sim\zeta_{\varepsilon_0}\\&n\uparrow\uparrow\uparrow n\uparrow\uparrow\uparrow n \sim\zeta_{\zeta_0}\\&n\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n \sim\eta_0\\&(n\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n)\uparrow\uparrow\uparrow n \sim\zeta_{\eta_0+1}\\&n\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow (n\times2) \sim\eta_1\\&n\uparrow^53 \sim\eta_{\eta_0}\\&n\uparrow^5n \sim\varphi(4,0)\\&n\uparrow^5(n\times2) \sim\varphi(4,1)\\&n\uparrow^6 n \sim\varphi(5,0)\\&n\uparrow^n n \sim\varphi(\omega,0)\\ \end{align}

\begin{align} &f_3(f_\omega(n))\approx (n\uparrow^nn)\uparrow\uparrow n\sim\psi(\Omega^\omega+1)\\&f_3^2(f_\omega(n))\approx (n\uparrow^nn)\uparrow\uparrow (n\times2)\sim\psi(\Omega^\omega+2)\\&f_3^n(f_\omega(n))\approx (n\uparrow^nn)\uparrow\uparrow (n^2)\sim\psi(\Omega^\omega+\omega)\\&f_3^{f_3(n)}(f_\omega(n))\approx (n\uparrow^nn)\uparrow\uparrow (n\uparrow\uparrow n)\sim\psi(\Omega^\omega+\psi(0))\\&f_4(f_\omega(n))=f_3^{f_\omega(n)}(f_\omega(n))\approx (n\uparrow^nn)\uparrow\uparrow\uparrow2\sim\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega))\\&f_3(f_4(f_\omega(n)))\approx ((n\uparrow^nn)\uparrow\uparrow\uparrow2)\uparrow\uparrow n\sim\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega)+1)\\&f_3^{f_{\omega}(n)}(f_4(f_\omega(n)))\approx ((n\uparrow^nn)\uparrow\uparrow\uparrow2)\uparrow\uparrow (n\uparrow^nn)\sim\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega)\times2)\\&f_3^{f_{\omega}(n)\times2}(f_4(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega)\times3)\\&f_3^{f_3(f_{\omega}(n))}(f_4(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega+1))\\&f_3^{f_3^2(f_{\omega}(n))}(f_4(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega+2))\\&f_4^2(f_\omega(n))=f_3^{f_3^{f_\omega(n)}(f_{\omega}(n))}(f_4(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega)))\\&f_3(f_4^2(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega))+1)\\&f_3^{f_4(f_\omega(n))}(f_4^2(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega))\times2)\\&f_3^{f_3(f_4(f_\omega(n)))}(f_4^2(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega)+1))\\&f_3^{f_3^{f_\omega(n)}(f_4(f_\omega(n)))}(f_4^2(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega)\times2))\\&f_4^3(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega+\psi(\Omega^\omega))))\\&f_4^n(f_\omega(n))\approx (n\uparrow^nn)\uparrow\uparrow\uparrow n\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega)\\&f_4^{n+1}(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega+\psi(\Omega^\omega+\Omega))\\&f_4^{n+2}(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega+\psi(\Omega^\omega+\Omega+\psi(\Omega^\omega+\Omega)))\\&f_4^{n\times2}(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega\times2)\\&f_4^{n^2}(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega\times\omega)\\&f_4^{f_3(n)}(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega\times\psi(0))\\&f_5(f_\omega(n))=f_4^{f_\omega(n)}(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega\times\psi(\Omega^\omega))\\&f_3(f_5(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega\times\psi(\Omega^\omega)+1)\\&f_3^{f_\omega(n)}(f_5(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega\times\psi(\Omega^\omega)+\psi(\Omega^\omega))\\&f_4(f_5(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega\times\psi(\Omega^\omega)+\psi(\Omega^\omega+\Omega\times\psi(\Omega^\omega)))\\&f_4^n(f_5(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega\times\psi(\Omega^\omega)+\Omega)\\&f_4^{f_\omega(n)}(f_5(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega\times\psi(\Omega^\omega)\times2)\\&f_4^{f_\omega(n)\times2}(f_5(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega\times\psi(\Omega^\omega)\times3)\\&f_4^{f_3(f_\omega(n))}(f_5(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega\times\psi(\Omega^\omega+1))\\&f_4^{f_4(f_\omega(n))}(f_5(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega\times\psi(\Omega^\omega+\Omega))\\&f_5^2(f_\omega(n))=f_4^{f_5(f_\omega(n))}(f_5(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega\times\psi(\Omega^\omega+\Omega\times\psi(\Omega^\omega)))\\&f_5^n(f_\omega(n))\approx (n\uparrow^nn)\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow n\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega^2)\\&f_5^{n\times2}(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega^2\times2)\\&f_6(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega^2\times\psi(\Omega^\omega))\\&f_6^n(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega^3)\\&f_7^n(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^\omega+\Omega^4)\\&f_n(f_\omega(n))\approx (n\uparrow^nn)\uparrow^nn\approx n\uparrow^n(2n)\sim\psi(\Omega^\omega\times2)\\&f_n^2(f_\omega(n))\approx n\uparrow^n(3n)\sim\psi(\Omega^\omega\times3)\\&f_n^n(f_\omega(n))\approx n\uparrow^n(n^2)\sim\psi(\Omega^\omega\times\omega)\\&f_n^{f_3(n)}(f_\omega(n))\approx n\uparrow^nn\uparrow\uparrow n\sim\psi(\Omega^\omega\times\psi(0))\\&f_{n+1}(f_\omega(n))=f_n^{f_\omega(n)}(f_\omega(n))\approx n\uparrow^nn\uparrow^nn\sim\psi(\Omega^\omega\times\psi(\Omega^\omega))\\&f_n(f_{n+1}(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega\times\psi(\Omega^\omega)+\Omega^\omega)\\&f_n^{f_\omega(n)}(f_{n+1}(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega\times\psi(\Omega^\omega)\times2)\\&f_n^{f_3(f_\omega(n))}(f_{n+1}(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega\times\psi(\Omega^\omega+1))\\&f_n^{f_n(f_\omega(n))}(f_{n+1}(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^\omega\times\psi(\Omega^\omega\times2))\\&f_{n+1}^2(f_\omega(n))\approx n\uparrow^nn\uparrow^nn\uparrow^nn\sim\psi(\Omega^\omega\times\psi(\Omega^\omega\times\psi(\Omega^\omega)))\\&f_{n+1}^n(f_\omega(n))\approx n\uparrow^{n+1}n\sim\psi(\Omega^{\omega+1})\\&f_n(f_{n+1}^n(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^{\omega+1}+\Omega^\omega)\\&f_{n+1}^{n+1}(f_\omega(n))=f_n^{f_{n+1}^n(f_\omega(n))}(f_{n+1}^n(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^{\omega+1}+\Omega^\omega\times\psi(\Omega^{\omega+1}))\\&f_{n+1}^{n\times2}(f_\omega(n))\approx n\uparrow^{n+1}(2n)\sim\psi(\Omega^{\omega+1}\times2)\\&f_{n+2}(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^{\omega+1}\times\psi(\Omega^\omega))\\&f_n(f_{n+2}(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^{\omega+1}\times\psi(\Omega^\omega)+\Omega^\omega)\\&f_n^{f_{n+1}^n(f_\omega(n))}(f_{n+2}(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^{\omega+1}\times\psi(\Omega^\omega)+\Omega^\omega\times\psi(\Omega^{\omega+1}))\\&f_{n+1}(f_{n+2}(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^{\omega+1}\times\psi(\Omega^\omega)+\Omega^\omega\times\psi(\Omega^{\omega+1}\times\psi(\Omega^\omega)))\\&f_{n+1}^n(f_{n+2}(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^{\omega+1}\times\psi(\Omega^\omega)+\Omega^{\omega+1})\\&f_{n+1}^{f_\omega(n)}(f_{n+2}(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^{\omega+1}\times\psi(\Omega^\omega)\times2)\\&f_{n+1}^{f_{n+1}(f_\omega(n))}(f_{n+2}(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^{\omega+1}\times\psi(\Omega^\omega\times\psi(\Omega^\omega)))\\&f_{n+1}^{f_{n+1}^n(f_\omega(n))}(f_{n+2}(f_\omega(n)))\sim\psi(\Omega^{\omega+1}\times\psi(\Omega^{\omega+1}))\\&f_{n+2}^2(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^{\omega+1}\times\psi(\Omega^{\omega+1}\times\psi(\Omega^\omega)))\\&f_{n+2}^n(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^{\omega+2})\\&f_{n+2}^{n+1}(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^{\omega+2}+\Omega^{\omega+1}\times\psi(\Omega^\omega))\\&f_{n+2}^{n\times2}(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^{\omega+2}\times2)\\&f_{n+3}(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^{\omega+2}\times\psi(\Omega^\omega))\\&f_{n+3}^2(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^{\omega+2}\times\psi(\Omega^{\omega+2}\times\psi(\Omega^\omega)))\\&f_{n+3}^n(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^{\omega+3})\\&f_{n\times2}(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^{\omega\times2})\\&f_{n\times2+1}(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^{\omega\times2}\times\psi(\Omega^{\omega}))\\&f_{n\times2+1}^n(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^{\omega\times2+1})\\&f_{n\times3}(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^{\omega\times3})\\&f_{n^2}(f_\omega(n))\sim\psi(\Omega^{\omega^2})\\&f_{f_3(n)}(f_\omega(n))\approx n\uparrow^{n\uparrow\uparrow n}n\sim\psi(\Omega^{\psi(0)})\\&f_{f_4(n)}(f_\omega(n))\approx n\uparrow^{n\uparrow\uparrow\uparrow n}n\sim\psi(\Omega^{\psi(\Omega)})\\&f_\omega^2(n)=f_{f_\omega(n)}(f_\omega(n))\approx n\uparrow^{n\uparrow^n n}n\sim\psi(\Omega^{\psi(\Omega^\omega)})\\&f_n(f_\omega^2(n))\sim\psi(\Omega^{\psi(\Omega^\omega)}+\Omega^\omega)\\&f_{n+1}^n(f_\omega^2(n))\sim\psi(\Omega^{\psi(\Omega^\omega)}+\Omega^{\omega+1})\\&f_{f_\omega(n)}(f_\omega^2(n))\sim\psi(\Omega^{\psi(\Omega^\omega)}\times2)\\&f_{f_\omega(n)}^n(f_\omega^2(n))\sim\psi(\Omega^{\psi(\Omega^\omega)}\times\omega)\\&f_{f_\omega(n)+1}(f_\omega^2(n))\sim\psi(\Omega^{\psi(\Omega^\omega)}\times\psi(\Omega^{\psi(\Omega^\omega)}))\\&f_{f_\omega(n)+1}^n(f_\omega^2(n))\sim\psi(\Omega^{\psi(\Omega^\omega)+1})\\&f_{f_\omega(n)+n}(f_\omega^2(n))\sim\psi(\Omega^{\psi(\Omega^\omega)+\omega})\\&f_{f_\omega(n)\times2}(f_\omega^2(n))\sim\psi(\Omega^{\psi(\Omega^\omega)\times2})\\&f_{f_3(f_\omega(n))}(f_\omega^2(n))\sim\psi(\Omega^{\psi(\Omega^\omega+1)})\\&f_{f_{n+1}^n(f_\omega(n))}(f_\omega^2(n))\sim\psi(\Omega^{\psi(\Omega^{\omega+1})})\\&f_\omega^3(n)=f_{f_{f_\omega(n)}(f_\omega(n))}(f_\omega^2(n))\sim\psi(\Omega^{\psi(\Omega^{\psi(\Omega^\omega)})})\\&f_{\omega+1}(n)=f_\omega^n(n)\sim\psi(\Omega^\Omega)=\varphi(1,0,0)\\ \end{align}

\begin{align} & f_3(f_{\omega+1}(n))\sim\psi(\Omega^\Omega+1)\\&f_4(f_{\omega+1}(n))=f_3^{f_{\omega+1}(n)}(f_{\omega+1}(n))\sim\psi(\Omega^\Omega+\psi(\Omega^\Omega))\\&f_4^n(f_{\omega+1}(n))\sim\psi(\Omega^\Omega+\Omega)\\&f_5^n(f_{\omega+1}(n))\sim\psi(\Omega^\Omega+\Omega^2)\\&f_n(f_{\omega+1}(n))\sim\psi(\Omega^\Omega+\Omega^\omega)\\&f_{n+1}^n(f_{\omega+1}(n))\sim\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\omega+1})\\&f_{f_3(n)}(f_{\omega+1}(n))\sim\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(0)})\\&f_{f_\omega(n)}(f_{\omega+1}(n))\sim\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\omega)})\\&f_\omega(f_{\omega+1}(n))=f_{f_{\omega+1}(n)}(f_{\omega+1}(n))\sim\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)})=\varphi(\varphi(1,0,0),1)\\&f_{f_{\omega+1}(n)}(f_{\omega}(f_{\omega+1}(n)))\sim\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}\times2)\\&f_{f_{\omega+1}(n)+1}^n(f_{\omega}(f_{\omega+1}(n)))\sim\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)+1})\\&f_{f_3(f_{\omega+1}(n))}(f_{\omega}(f_{\omega+1}(n)))\sim\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega+1)})\\&f_{f_n(f_{\omega+1}(n))}(f_{\omega}(f_{\omega+1}(n)))\sim\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega+\Omega^\omega)})\\&f_\omega^2(f_{\omega+1}(n))=f_{f_\omega(f_{\omega+1}(n))}(f_{\omega}(f_{\omega+1}(n)))\sim\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)})})\\&f_\omega^n(f_{\omega+1}(n))\sim\psi(\Omega^\Omega\times2)=\varphi(1,0,1)\\&f_\omega^{n\times2}(f_{\omega+1}(n))\sim\psi(\Omega^\Omega\times3)\\&f_{\omega+1}^2(n)=f_\omega^{f_{\omega+1}(n)}(f_{\omega+1}(n))\sim\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega))\\&f_\omega^n(f_{\omega+1}^2(n))\sim\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega)+\Omega^\Omega)\\&f_\omega^{f_{\omega+1}(n)}(f_{\omega+1}^2(n))\sim\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega)\times2)\\&f_\omega^{f_n(f_{\omega+1}(n))}(f_{\omega+1}^2(n))\sim\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega+\Omega^\omega))\\&f_\omega^{f_\omega(f_{\omega+1}(n))}(f_{\omega+1}^2(n))\sim\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega+\Omega^{\psi(\Omega^\Omega)}))\\&f_\omega^{f_\omega^n(f_{\omega+1}(n))}(f_{\omega+1}^2(n))\sim\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times2))\\&f_{\omega+1}^3(n)\sim\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^\Omega)))\\&f_{\omega+2}(n)=f_{\omega+1}^n(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega+1})=\varphi(1,1,0)\\&f_\omega(f_{\omega+2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega+1})})\\&f_\omega^n(f_{\omega+2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^{\Omega})\\&f_\omega^{n\times2}(f_{\omega+2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^{\Omega}\times2)\\&f_{\omega+1}(f_{\omega+2}(n))=f_\omega^{f_{\omega+2}(n)}(f_{\omega+2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^{\Omega}\times\psi(\Omega^{\Omega+1}))\\&f_\omega^{f_{\omega+2}(n)}(f_{\omega+1}(f_{\omega+2}(n)))\sim\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^{\Omega}\times\psi(\Omega^{\Omega+1})\times2)\\&f_\omega^{f_\omega^n(f_{\omega+2}(n))}(f_{\omega+1}(f_{\omega+2}(n)))\sim\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^{\Omega}\times\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^\Omega))\\&f_{\omega+1}^2(f_{\omega+2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^{\Omega}\times\psi(\Omega^{\Omega+1}+\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^{\Omega+1})))\\&f_{\omega+1}^n(f_{\omega+2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+1}\times2)\\&f_{\omega+2}^2(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega+1}\times\psi(\Omega^{\Omega+1}))\\&f_{\omega+3}(n)=f_{\omega+2}^n(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega+2})\\&f_{\omega+4}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega+3})\\&f_{\omega\times2}(n)=f_{\omega+n}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega+\omega})\\&f_\omega(f_{\omega\times2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^{\psi(\Omega^{\Omega+\omega})})\\&f_\omega^n(f_{\omega\times2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^\Omega)\\&f_{\omega+1}(f_{\omega\times2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^\Omega\times\psi(\Omega^{\Omega+\omega}))\\&f_{\omega+1}^n(f_{\omega\times2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^{\Omega+1})\\&f_{\omega+2}^n(f_{\omega\times2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+\omega}+\Omega^{\Omega+2})\\&f_{\omega+n}(f_{\omega\times2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+\omega}\times2)\\&f_{\omega+n+1}(f_{\omega\times2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+\omega}\times\psi(\Omega^{\Omega+\omega}))\\&f_{\omega+n+1}^n(f_{\omega\times2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+\omega+1})\\&f_{\omega+n\times2}(f_{\omega\times2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+\omega\times2})\\&f_{\omega+f_{\omega+1}(n)}(f_{\omega\times2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^\Omega)})\\&f_{\omega+f_{\omega+2}(n)}(f_{\omega\times2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+1})})\\&f_{\omega\times2}^2(n)=f_{\omega+f_{\omega+n}(n)}(f_{\omega\times2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega})})\\&f_{\omega\times2}^3(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\psi(\Omega^{\Omega+\omega})})})\\&f_{\omega\times2+1}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega\times2})\\&f_\omega^{n}(f_{\omega\times2+1}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega\times2}+\Omega^\Omega)\\&f_{\omega\times2}^{n}(f_{\omega\times2+1}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega\times2}\times2)\\&f_{\omega\times2+1}^2(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega\times2}\times\psi(\Omega^{\Omega\times2}))\\&f_{\omega\times2+2}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega\times2+1})\\&f_{\omega\times3}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega\times2+\omega})\\&f_{\omega\times3}^2(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega\times2+\psi(\Omega^{\Omega\times2+\omega})})\\&f_{\omega\times3+1}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega\times3})\\&f_{\omega\times4}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega\times3+\omega})\\&f_{\omega\times4+1}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega\times4})\\&f_{\omega^2}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega\times\omega})=\varphi(\omega,0,0)\\&f_{\omega}^n(f_{\omega^2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega\times\omega}+\Omega^\Omega)\\&f_{\omega\times2}^n(f_{\omega^2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega\times\omega}+\Omega^{\Omega\times2})\\&f_{\omega\times n}(f_{\omega^2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega\times\omega}\times2)\\&f_{\omega\times n+1}(f_{\omega^2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega\times\omega}\times\psi(\Omega^{\Omega\times\omega}))\\&f_{\omega\times n+1}^n(f_{\omega^2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega\times\omega+1})\\&f_{\omega\times n+2}^n(f_{\omega^2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega\times\omega+2})\\&f_{\omega\times n+n}(f_{\omega^2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega\times\omega+\omega})\\&f_{\omega\times n+f_{\omega^2}(n)}(f_{\omega^2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega\times\omega+\psi(\Omega^{\Omega\times\omega})})\\&f_{\omega\times n+\omega}(f_{\omega^2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega\times\omega+\Omega})\\&f_{\omega\times n+\omega\times2}(f_{\omega^2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega\times\omega+\Omega\times2})\\&f_{\omega\times n\times2}(f_{\omega^2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega\times\omega\times2})\\&f_{\omega^2}^2(n)=f_{\omega\times f_{\omega^2}(n)}(f_{\omega^2}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega\times\psi(\Omega^{\Omega\times\omega})})\\&f_{\omega^2}^3(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega\times\psi(\Omega^{\Omega\times\psi(\Omega^{\Omega\times\omega})})})\\&\Large\color{red}{f_{\omega^2+1}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^2})=\varphi(1,0,0,0)}\\&f_\omega^n(f_{\omega^2+1}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega^2}+\Omega^\Omega)\\&f_{\omega\times2}^n(f_{\omega^2+1}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega^2}+\Omega^{\Omega\times2})\\&f_{\omega\times n}(f_{\omega^2+1}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega^2}+\Omega^{\Omega\times\omega})\\&f_{\omega^2}(f_{\omega^2+1}(n))=f_{\omega\times f_{\omega^2+1}(n)}(f_{\omega^2+1}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega^2}+\Omega^{\Omega\times{\psi(\Omega^{\Omega^2})}})=\varphi(\varphi(1,0,0,0),0,1)\\&f_{\omega^2}^2(f_{\omega^2+1}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega^2}+\Omega^{\Omega\times\psi(\Omega^{\Omega^2}+\Omega^{\Omega\times\psi(\Omega^{\Omega^2})})})\\&f_{\omega^2}^n(f_{\omega^2+1}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega^2}\times2)\\&f_{\omega^2+1}^2(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^2}\times\psi(\Omega^{\Omega^2}))\\&f_{\omega^2+2}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^2+1})\\&f_{\omega^2+\omega}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^2+\omega})\\&f_{\omega^2+\omega+1}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^2+\Omega})\\&f_{\omega^2+\omega+2}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^2+\Omega+1})\\&f_{\omega^2+\omega\times2+1}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^2+\Omega\times2})\\&f_{\omega^2\times2}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^2+\Omega\times\omega})\\&f_{\omega^2\times2+1}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^2\times2})\\&f_{\omega^2\times3+1}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^2\times3})\\&f_{\omega^3}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^2\times\omega})\\&f_{\omega^2\times n}(f_{\omega^3}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega^2\times\omega}\times2)\\&f_{\omega^2\times n+1}^n(f_{\omega^3}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega^2\times\omega+1})\\&f_{\omega^2\times n+n}(f_{\omega^3}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega^2\times\omega+\omega})\\&f_{\omega^2\times n+\omega}(f_{\omega^3}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega^2\times\omega+\psi(\Omega^{\Omega^2\times\omega})})\\&f_{\omega^2\times n+\omega}^n(f_{\omega^3}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega^2\times\omega+\Omega})\\&f_{\omega^2\times n+\omega\times n}(f_{\omega^3}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega^2\times\omega+\Omega\times\omega})\\&f_{\omega^2\times n+\omega^2}^n(f_{\omega^3}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega^2\times\omega+\Omega^2})\\&f_{\omega^2\times n\times2}(f_{\omega^3}(n))\sim\psi(\Omega^{\Omega^2\times\omega\times2})\\&f_{\omega^3}^2(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^2\times\psi(\Omega^{\Omega^2})})\\&f_{\omega^3+1}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^3})\\&f_{\omega^3+2}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^3+1})\\&f_{\omega^3+\omega+1}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^3+\Omega})\\&f_{\omega^3+\omega^2+1}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^3+\Omega^2})\\&f_{\omega^3\times2+1}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^3\times2})\\&f_{\omega^4}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^3\times\omega})\\&f_{\omega^4+1}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^4})\\&f_{\omega^\omega}(n)\sim\psi(\Omega^{\Omega^\omega})=\varphi(1@\omega)\\ \end{align}