SAM

SAM 即Simple Admissble Mark，简单非递归系统（事实上这里中英不完全一致，但是别管历史遗留问题），分为New.和Old.两个版本。Old.版本更简洁，但是在常用的环境下，难以准确定义，而New.版本的良定义程度和投影序数完全一致

SAM的理念是“用小递归序数的结构理想地表示出大非递归序数的各类层级和结构，然后再放入非递归序数，实现‘左脚踩右脚上天’的效果”。而目前能近似实现上述功能的事物只有兼容（小递归序数表示大递归序数），因此，SAM选择了兼容作为理想表示的暂时的、局部的实现方式。但是我们可以注意到，这事实上不可能绝对理想的被实现，所以绝对理想的SAM在理论中也许并不存在，我们目前用的只是一种“将就”的定义

本页面将主要叙述SAM的New版本

首先，SAM存在一类大序数，形如S_...，就像投影中有各种各样的α_...一样，前者的部分性质同样也可以参考后者

其次，SAM的兼容链不仅是一个[#]。在SAM中，这只是一个“行”。而SAM的兼容链则是由许多个“行”所构成的“面”

再次，SAM的定义需要pfffz(即p.f.e.c fffz)的定义，而pfffz实际上就是把Ω给直接且不折叠地放进fffz里，缺失的结构和基本列长度则通过和SAM一样的方法补全

然后，SAM的完整定义如下：

ψS(0)=1

ψS(S+1)=h_(S+1)

ψS#'[&](n)=min α→g(α) 第2条规则无法使用 且 n的最内项为“S_...”且“&的末项”>n 且 n>min α→g(α)，其中g(x)=“把n的最内项替换为x后，所得的新n的值”

ψS#'[&](n)=ψS#'[&,n]'[f(n,g(&的末项)](f(n,g(&的末项))) 第2、3条规则无法使用 且 [&,n]存在 且 [%,n]存在

ψS#'[&](n)=min α→ψS#[&,n](α) 第2、3条规则无法使用 且 [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为极限序数

ψS#'[&](n)=ψS#'[&](n-1)×ω 第2、3条规则无法使用 且 [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为后继序数

ψS#'[&](n)=min{α|α>ψS#'[&](<n)} 第2、3条规则无法使用 且 [&,n]不存在

ψS#[&](n)=ψS#[&,n]'[f(n)](f(n)) [&,n]存在 且 [%,n]存在

ψS#[&](n)=min α→ψS#[&,n](α) [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为极限序数

ψS#[&](n)=ψS#[&](n-1)×ω [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为后继序数

ψS#[&](n)=min{α|α>ψS#'[&](<n)} [&,n]不存在

化简规则

ψS#[&,m](n)=ψS#[&](n) m>n 或 [&,m]不存在

ψS#[](n)=ψS#(n)

ψS#[&,m]'(n)=ψS#[&,m](n) m>n 或 n<S

附加规则

 f(n,m)=“找到n中最外小于S_m的内项，如果等于n则为h_(S_m+1)。否则如果不等于n且是极限序数则将其替换为S_m；如果不等于n且是后继序数则将其替换为其后继；如果不存在则为h(S_m+1) ， 最终所得的新n的值”

g(x)=max{S_v|x≥S_v} 激活函数h(x)=Ω_(x+1) ψS#[&](n)的直接内项，是n的末项

 多项式的直接内项，是其末项
 0和S_...的直接内项是自身
 n的内项，是自身和自身内项的直接内项
 n的间接内项，是 不是n的直接内项的 n的内项
 n的最内项，是指所属层数最大的内项

项，是序数 行，是由项依次有序组成的序列 面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'右