SAM

SAM（Simple Admissble Mark，简单非递归系统）（事实上这里中英不完全一致，但是别管历史遗留问题），分为 New. 和 Old. 两个版本。Old. 版本更简洁，但是在常用的环境下，难以准确定义，而 New. 版本的良定义程度和投影序数完全一致

SAM 的理念是“用小递归序数的结构理想地表示出大非递归序数的各类层级和结构，然后再放入非递归序数，实现‘左脚踩右脚上天’的效果”。而目前能近似实现上述功能的事物只有兼容（小递归序数表示大递归序数），因此，SAM 选择了兼容作为理想表示的暂时的、局部的实现方式。但是我们可以注意到，这事实上不可能绝对理想的被实现，所以绝对理想的 SAM 在理论中也许并不存在，我们目前用的只是一种“将就”的定义。

本页面将主要叙述 SAM 的 New. 版本。

定义

SAM 存在一类大序数，形如 S_...，就像投影中有各种各样的 α_... 一样，前者的部分性质同样也可以参考后者。其兼容链不仅是一个 [#]，在 SAM 中，这只是一个“行”，而 SAM 的兼容链则是由许多个“行”所构成的“面”。SAM 的定义需要 pfffz（即 pfec fffz）的定义，而 pfffz 实际上就是把 Ω 给直接且不折叠地放进 fffz 里，缺失的结构和基本列长度则通过和 SAM 一样的方法补全。

SAM 的完整定义如下：

1. ${\psi }_S(0)=1$
2. ${\psi }_S(S+1)=h_{S+1}$
3. ${\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](n)=min\alpha \to g(\alpha )$，当第 2 条规则无法使用且 n 的最内项为 S_... 且 & 的末项 >n 且 $n>min\alpha \to g(\alpha )$，其中 g(x) = 把 n 的最内项替换为 x 后，所得的新 n 的值
4. ${\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](n)={\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&},n{]}^{\prime }[f(n,g(\mathrm{\&}\text{的末项})](f(n,g(\mathrm{\&}\text{的末项})))$，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 存在，[%,n] 存在
5. ${\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](n)=min\alpha \to {\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&},n](\alpha )$，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 存在、[%,n]不存在、n 为极限序数
6. ${\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](n)={\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](n-1)\times \omega$，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 存在、[%,n] 不存在、n 为后继序数
7. ${\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](n)=min\{\alpha |\alpha >{\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](<n)\}$，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 不存在
8. ${\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&}](n)={\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&},n{]}^{\prime }[f(n)](f(n))$ ，当 [&,n] 存在、[%,n] 存在
9. ${\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&}](n)=min\alpha \to {\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&},n](\alpha )$ ，当 [&,n] 存在、[%,n] 不存在、n 为极限序数
10. ${\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&}](n)={\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&}](n-1)\times \omega$ ，当 [&,n] 存在、[%,n] 不存在、n 为后继序数
11. ${\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&}](n)=min\{\alpha |\alpha >{\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](<n)\}$ ，当 [&,n] 不存在

化简规则

1. ${\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&},m](n)={\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&}](n)$，当 m>n 或 [&,m] 不存在
2. ${\psi }_S\mathrm{\#}[](n)={\psi }_S\mathrm{\#}(n)$
3. ${\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&},m{]}^{\prime }(n)={\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&},m](n)$，当 m>n 或 n<S

附加规则：

• f(n,m) = 找到 n 中最外小于 $S_m$ 的内项，如果等于 n 则为 $h_{S_m+1}$。否则如果不等于 n 且是极限序数则将其替换为 $S_m$；如果不等于 n 且是后继序数则将其替换为其后继；如果不存在则为 $h(S_m+1)$，最终所得的新 n 的值
• $g(x)=max\{S_v|x\ge S_v\}$
• 激活函数 $h(x)={\mathrm{\Omega }}_{x+1}$

${\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&}](n)$ 的直接内项，是 n 的末项；多项式的直接内项，是其末项；0 和 S_... 的直接内项是自身；n 的内项，是自身和自身内项的直接内项；n 的间接内项，是 不是 n 的直接内项的 n 的内项；n 的最内项，是指所属层数最大的内项。

项，是序数；行，是由项依次有序组成的序列；面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个间接连接。