超初等序列：修订间差异

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2025年7月7日 (一) 22:04的版本

超初等序列(Hyper Primitive Sequence System, HPrSS)，是一种Worm型序数记号，它是PrSS的一种扩展。

定义

合法表达式

一个合法的 HPrSS 表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如

$(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) (n, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in ℕ, a_{1} = 1)$

的序列。

例如： $(1, 4, 6, 4)$ 和 $(1, 1, 4, 5, 1, 4)$ 都是合法的 HPrSS 表达式，而 $(1, 2, π)$ 不是。

结构

HPrSS的合法式可分为零表达式、后继表达式和极限表达式。

零表达式指 $n = 0$ 的表达式，即空序列；
后继表达式指 $n > 0, a_{n} = 1$ 的表达式，即末项为1的非空序列；
极限表达式指 $n > 0, a_{n} > 1$ 的表达式，末项不为1的非空序列。

对于 HPrSS 的一个极限表达式 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，定义以下术语：

父项

对于 $m \in {1, 2, \dots, n}$ ，记 $p_{m} = \max {1 \leq p_{m} < m ∣ a_{p_{m}} < a_{m}}$ ，若这样的 $p_{m}$ 存在，则称 $a_{p_{m}}$ 为 $a_{m}$ 的父项。

如果这样的 $p_{m}$ 不存在，我们也可以把 $a_{m}$ 的父项定义为一个虚构的“第0项”，其值为 $a_{0} = 0$ 。

通俗的说， $a_{m}$ 的父项是在 $a_{m}$ 左边、最靠右的、且小于 $a_{m}$ 的项。

例如，在 $(1, 3, 5, 4, 1, 3)$ 中，4的父项是第一个3，而第二个1没有父项。

祖先

对于 $m \in {1, 2, \dots, n}$ ，记 $m_{0} = m$ ， $m_{i + 1} = p_{m_{i}}$ ， $P_{m} = {m_{i} ∣ i \geq 0}$ 我们将 $a_{m}$ 的祖先定义为所有 $a_{p} (p \in P_{m})$ 。

通俗地说，某一项的祖先是它本身、它的父项、父项的父项、父项的父项的父项……中的某一项。

例如， $(1, 4, 6, 7, 6, 7)$ 中，末项7的祖先是所有红色的项。

阶差

对于 $m \in {1, 2, \dots, n}$ ，若 $a_{m}$ 的父项是 $a_{p_{m}}$ ，则定义 $a_{m}$ 的阶差为 $d_{m} = a_{m} - a_{p_{m}}$ ;若没有父项，则定义 $a_{m}$ 的阶差为 $d_{m} = a_{m}$ 。

由父项的定义可知，阶差一定是正整数。

阶差序列

设 $a_{m}$ 的阶差为 $d_{m}$ ，我们把 $(d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n})$ 称为 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 的阶差序列。

坏根

给定极限表达式 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，其末项的阶差为 $d_{n}$ 。我们记序列的坏根为 $a_{r}$ ，其中 $r$ 定义如下：

若 $d_{n} = 1$ ，则 $r = p_{n}$ ，即序列的坏根定义末项的父项；

若 $d_{n} \geq 1$ ，则 $r = \max {k \in P_{n} | d_{k} < d_{n}}$ 。通俗地说，序列的坏根为末项的祖先中，最靠右的，且阶差小于末项阶差的项。

序列的阶差

序列的阶差定义为 $δ = a_{n} - a_{r} - 1$ ，这一点和 LPrSS 一致。

坏部&好部

坏部、好部的定义和 PrSS 一致：坏部 $B = (a_{r}, a_{r + 1}, \dots, a_{n - 1})$ ，好部 $G = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r - 1})$ 。

展开

对于一个合法的 HPrSS 表达式 $S = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ ，其展开规则如下：

若 $S$ 为零表达式，则 $S$ 代表序数0；
若 $S$ 为后继表达式，则其前驱是 $S^{'} = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1})$ ；
若 $S$ 为极限表达式，根据前文定义确定坏根、阶差、好部、坏部；记 $B_{t} = (a_{r} + t δ, a_{r + 1} + t δ, \dots, a_{n - 1} + t δ)$ ，它可以看成坏部的每一项加上阶差的t倍，则其基本列的第 $m$ 项为 $S [m] = (G, B, B_{1}, B_{2}, \dots, B_{m})$ 。或者说， $S$ 的展开式为 $(G, B, B_{1}, B_{2}, \dots)$ 。

举例

考虑 HPrSS 表达式 $(1, 4, 6, 6)$ 。

首先，找出末项6的所有祖先项，用红色表示： $(1, 4, 6, 6)$ 。

其次，计算出阶差序列，为 $(1, 2, 2, 2)$ 。

然后，我们从末项的祖先项中，找到最右边的阶差小于2的项。这里4的阶差为3，我们跳过它，故坏根是首项1。

根据末项和坏根，我们得到了好部 $G = ()$ ，坏部 $B = (1, 4, 6)$ ，阶差 $δ = 6 - 1 - 1 = 4$ 。

根据坏部和阶差，我们可以求出 $B_{1} = (5, 8, 10)$ ， $B_{2} = (9, 12, 14)$ ，等等。

最后，我们得到了展开式 $(1, 4, 6, 6) = (1, 4, 6, 5, 8, 10, 9, 12, 14, \dots)$ 。

可以将其和 LPrSS 中相同表达式的展开进行对比。

@@ 第6行： / 第6行： @@
 一个合法的 HPrSS 表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如
-<math>(s_1,s_2,\cdots,s_n)\quad(n,s_1,s_2,\cdots,s_n\in\N,s_1=1)</math>
+<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)\quad(n,a_1,a_2,\cdots,a_n\in\N,a_1=1)</math>
 的序列。
@@ 第16行： / 第16行： @@
 * '''零表达式'''指<math>n=0</math>的表达式，即空序列；
-* 后继表达式指<math>n>0,s_n=1</math>的表达式，即末项为1的非空序列；
+* '''后继表达式'''指<math>n>0,a_n=1</math>的表达式，即末项为1的非空序列；
-* 极限表达式指<math>n>0,s_n>1</math>的表达式，末项不为1的非空序列。
+* '''极限表达式'''指<math>n>0,a_n>1</math>的表达式，末项不为1的非空序列。
-对于 HPrSS 的一个极限表达式<math>(s_1,s_2,\cdots,s_n)</math>，定义以下术语：
+对于 HPrSS 的一个极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，定义以下术语：
 ==== 父项 ====
@@ 第33行： / 第33行： @@
 对于<math>m\in\{1,2,\cdots,n\}</math>，记<math>m_0=m</math>，<math>m_{i+1}=p_{m_i}</math>，<math>P_m=\{m_i\mid i\ge 0\}</math>我们将<math>a_m</math>的'''祖先'''定义为所有<math>a_p(p\in P_m)</math>。
-通俗地说，某一项的祖先是它本身、它的父项、父项的父项、父项的父项的父项……中的某一项
+通俗地说，某一项的祖先是它本身、它的父项、父项的父项、父项的父项的父项……中的某一项。
+例如，<math>({\color{red}1},{\color{red}4},6,7,{\color{red}6},{\color{red}7})</math>中，末项7的祖先是所有红色的项。
 ==== 阶差 ====
 对于<math>m\in\{1,2,\cdots,n\}</math>，若<math>a_m</math>的父项是<math>a_{p_m}</math>，则定义<math>a_m</math>的'''阶差'''为<math>d_m=a_m-a_{p_m}</math>;若没有父项，则定义<math>a_m</math>的阶差为<math>d_m=a_m</math>。
-阶差一定是正整数。
+由父项的定义可知，阶差一定是正整数。
 ==== 阶差序列 ====
-设<math>a_m</math>的阶差为<math>d_m</math>，我们把<math>(d_1,d_2,\cdots,d_n)</math>称为<math>(a_1,a_2,\cdots,a_m)</math>的'''阶差序列'''。
+设<math>a_m</math>的阶差为<math>d_m</math>，我们把<math>(d_1,d_2,\cdots,d_n)</math>称为<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>的'''阶差序列'''。
 ==== 坏根 ====
-对于极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_m)</math>，记末项的阶差为<math>d_n</math>。我们记序列的'''坏根'''为<math>a_r</math>，其中<math>r</math>定义如下：
+给定极限表达式<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，其末项的阶差为<math>d_n</math>。我们记序列的'''坏根'''为<math>a_r</math>，其中<math>r</math>定义如下：
 * 若<math>d_n=1</math>，则<math>r=p_n</math>，即序列的坏根定义末项的父项；
 * 若<math>d_n\ge 1</math>，则<math>r=\max\{k\in P_n|d_k<d_n\}</math>。通俗地说，序列的坏根为末项的祖先中，最靠右的，且阶差小于末项阶差的项。
+==== 序列的阶差 ====
+序列的'''阶差'''定义为<math>\delta=a_n-a_r-1</math>，这一点和 [[长初等序列|LPrSS]] 一致。
+==== 坏部&好部 ====
+坏部、好部的定义和 PrSS 一致：坏部<math>B=(a_r,a_{r+1},\cdots,a_{n-1})</math>，好部<math>G=(a_1,a_2,\cdots,a_{r-1})</math>。
+== 展开 ==
+对于一个合法的 HPrSS 表达式<math>S=(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>，其展开规则如下：
+* 若<math>S</math>为零表达式，则<math>S</math>代表序数0；
+* 若<math>S</math>为后继表达式，则其前驱是'''<math>S'=(a_1,a_2,\cdots,a_{n-1})</math>'''；
+* 若<math>S</math>为极限表达式，根据前文定义确定坏根、阶差、好部、坏部；记<math>B_t=(a_r+t\delta,a_{r+1}+t\delta,\cdots,a_{n-1}+t\delta)</math>，它可以看成坏部的每一项加上阶差的t倍，则其基本列的第<math>m</math>项为<math>S[m]=(G,B,B_1,B_2,\cdots,B_m)</math>。或者说，<math>S</math>的展开式为<math>(G,B,B_1,B_2,\cdots)</math>。
+=== 举例 ===
+考虑 HPrSS 表达式<math>(1,4,6,6)</math>。
+首先，找出末项6的所有祖先项，用红色表示：<math>({\color{red}1},{\color{red}4},6,{\color{red}6})</math>。
+其次，计算出阶差序列，为<math>(1,2,2,2)</math>。
+然后，我们从末项的祖先项中，找到最右边的阶差小于2的项。这里4的阶差为3，我们跳过它，故坏根是首项1。
+根据末项和坏根，我们得到了好部<math>G=()</math>，坏部<math>B=(1,4,6)</math>，阶差<math>\delta=6-1-1=4</math>。
+根据坏部和阶差，我们可以求出<math>B_1=(5,8,10)</math>，<math>B_2=(9,12,14)</math>，等等。
+最后，我们得到了展开式<math>(1,4,6,6)=(1,4,6,5,8,10,9,12,14,\cdots)</math>。
+可以将其和 [[长初等序列#举例|LPrSS 中相同表达式的展开]]进行对比。
+== 枚举 ==
+== 与 PSS Hydra 的对应 ==