稳定序数：修订间差异

2025年7月5日 (六) 14:29的版本

$L_{α}$ 是 $L_{β}$ 的 $Σ_{n}$ 初等子结构，如果任取 $Σ_{n}$ 公式 $φ$ 均有单射j满足 $L_{α}$ |= $φ$ ( $x_{1}$ , $x_{2}$ ,…)等价于 $L_{β}$ |= $φ$ (j( $x_{1}$ ),j( $x_{2}$ ),…)，也称其为 $L_{α}$ $Σ_{n}$ 稳定到 $L_{β}$

除此外，我们还有 $L_{α}$ 是 $L_{β}$ - $Π_{n}$ 反射用于表达一些精细的层级，其中 $L_{α}$ $Σ_{1}$ 稳定到 $L_{β}$
(如未特别说明，下文的稳定到均为 $Σ_{1}$ 稳定到) 函数式定义:
$L_{α}$ 是 $L_{f (α)}$ - $Π_{n}$ 反射 onto X，如果任取 $Π_{n}$ 公式 $φ$ 及参数 $γ \in L_{α}$ 和 $γ^{'} \in L_{α^{'}}$ 有 $L_{f (α)} | = φ (α, γ) \to L_{f (α^{'})} | = φ (α^{'}, γ^{'})$ ,对于 $α^{'} \in α \cap X$

序数式定义:
$L_{α}$ 是 $L_{β}$ - $Π_{n}$ 反射 onto X，如果任取 $Π_{n}$ 公式，参数 $γ \in α$ 和 $γ^{'} \in α^{'}$ 有 $L_{β} | = φ (α, γ) \to L_{β^{'}} | = φ (α^{'}, γ^{'})$ ，对于 $β^{'} \in α$ 和 $α^{'} \in α \cap X$

关于函数式定义，由于 $ω$ -ply的顶点下成员都是 $ω$ -ply，这会到达f和 $α$ 的某种不动点，以至于无法继续行进
稳定序数有如下路径:
$L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ ，则任取 $n \in ω$ 有 $α \in Π_{n}$ 反射序数

$β$ 是前 $n \in ω$ 个 $α$ 满足 $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ 的上界，则 $β$ 是 $Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的最小成员

$β$ 是前 $n \in ω^{2}$ 个 $α$ 满足 $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ 的上界，则 $β$ 是 $Π_{1}$ onto $Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的最小成员

$β$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ 的上界，则 $β$ 是 $Π_{1}$ $o n t o^{(1, 0)}$ { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的最小成员

$β \in Π_{2}$ 反射是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ 的上界，则 $β$ 是 $Π_{2} \cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$β$ 是前 $n \in ω$ 个 $α$ 满足 $Π_{2} \cap Π_{1}$ onto { $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的上界，则 $β$ 是 $Π_{1}$ onto $Π_{2} \cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$β \in Π_{2}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $Π_{2} \cap Π_{1}$ onto { $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的上界，则 $β$ 是 $Π_{2} \cap (Π_{1}$ onto $Π_{2} \cap (Π_{1}$ { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }))的最小成员

$β$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足{n:( $Π_{2} \cap Π_{1}$ $o n t o)^{n}$ { $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }}的上界，则 $β$ 是( $Π_{2} \cap Π_{1}$ $o n t o)^{(1, 0)}$ { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的最小成员

$β \in Π_{2}$ onto $Π_{2}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ 的上界，则 $β$ 是( $Π_{2}$ onto $Π_{2}$ ) $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$β \in Π_{3}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ 的上界，则 $β$ 是 $Π_{3} \cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ 的上界，则 $β$ 是{ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员并且 $β \in Π_{n}$ 反射

$β$ 是前 $n \in ω$ 个 $α$ 满足{ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的上界，则 $β$ 是 $Π_{1}$ onto ({ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }))的最小成员

$β \in Π_{2}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足{ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的上界，则 $β$ 是 $Π_{2} \cap (Π_{1}$ onto { $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }))的最小成员

$L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足{ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的上界，则 $β$ 是{ $γ : L_{γ}$ 稳定到 $L_{γ + 1}$ } $\cap$ ( $Π_{1}$ onto { $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }))的最小成员

$β$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足{n:({ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap Π_{1}$ $o n t o)^{n}$ )}的上界，则 $β$ 是({ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap Π_{1}$ $o n t o)^{(1, 0)}$ 的最小成员

$β$ 是 $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的最小成员

$β$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的上界，则 $β$ 是 $Π_{1}$ $o n t o^{(1, 0)}$ ( $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$β \in Π_{2}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的上界，则 $β$ 是 $Π_{2} \cap$ ( $Π_{1}$ onto $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的上界，则 $β$ 是{ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap$ ( $Π_{1}$ onto $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$β \in Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的上界，则 $β$ 是 $Π_{2}$ onto { $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap$ ( $Π_{1}$ onto $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$β$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足{x:( $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ } $\cap Π_{1}$ $o n t o)^{x}$ }的上界，则 $β$ 是( $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ } $\cap Π_{1}$ $o n t o)^{(1, 0)}$ 的最小成员

$β$ 是 $Π_{2}$ onto $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$β \in Π_{3}$ 是 $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的，则 $β$ 是 $Π_{3} \cap (Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ 是 $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的，则 $β$ 是{ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap$ ( $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$β$ 是 $Π_{3}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

@@ 第49行： / 第49行： @@
 <math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>
+<math>\beta\in\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>
+<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{x:(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{x}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math> <math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br>
+<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>
+<math>\beta\in\Pi_{3}</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的，则<math>\beta</math>是 <math>\Pi_{3}\cap(\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>
+<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是 <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>
+<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>