稳定序数：修订间差异

2025年7月4日 (五) 12:05的版本

$L_{α}$ 是 $L_{β}$ 的 $Σ_{n}$ 初等子结构，如果任取 $Σ_{n}$ 公式 $φ$ 均有单射j满足 $L_{α}$ |= $φ$ ( $x_{1}$ , $x_{2}$ ,…)等价于 $L_{β}$ |= $φ$ (j( $x_{1}$ ),j( $x_{2}$ ),…)，也称其为 $L_{α}$ $Σ_{n}$ 稳定到 $L_{β}$

除此外，我们还有 $L_{α}$ 是 $L_{β}$ - $Π_{n}$ 反射用于表达一些精细的层级，其中 $L_{α}$ $Σ_{1}$ 稳定到 $L_{β}$
(如未特别说明，下文的稳定到均为 $Σ_{1}$ 稳定到) 函数式定义:
$L_{α}$ 是 $L_{f (α)}$ - $Π_{n}$ 反射 onto X，如果任取 $Π_{n}$ 公式 $φ$ 及参数 $γ \in L_{α}$ 和 $γ^{'} \in L_{α^{'}}$ 有 $L_{f (α)} | = φ (α, γ) \to L_{f (α^{'})} | = φ (α^{'}, γ^{'})$ ,对于 $α^{'} \in α \cap X$

序数式定义:
$L_{α}$ 是 $L_{β}$ - $Π_{n}$ 反射 onto X，如果任取 $Π_{n}$ 公式，参数 $γ \in α$ 和 $γ^{'} \in α^{'}$ 有 $L_{β} | = φ (α, γ) \to L_{β^{'}} | = φ (α^{'}, γ^{'})$ ，对于 $β^{'} \in α$ 和 $α^{'} \in α \cap X$

关于函数式定义，由于 $ω$ -ply的顶点下成员都是 $ω$ -ply，这会到达f和 $α$ 的某种不动点，以至于无法继续行进
稳定序数有如下路径:
$L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ ，则任取 $n \in ω$ 有 $α \in Π_{n}$ 反射序数

$β$ 是前 $n \in ω$ 个 $α$ 满足 $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ 的上界，则 $β$ 是 $Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的最小成员

$β$ 是前 $n \in ω^{2}$ 个 $α$ 满足 $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ 的上界，则 $β$ 是 $Π_{1}$ onto $Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的最小成员

$β$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ 的上界，则 $β$ 是 $Π_{1}$ $o n t o^{(1, 0)}$ { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的最小成员

$β \in Π_{2}$ 反射是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ 的上界，则 $β$ 是 $Π_{2} \cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$β$ 是前 $n \in ω$ 个 $α$ 满足 $Π_{2} \cap Π_{1}$ onto { $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的上界，则 $β$ 是 $Π_{1}$ onto $Π_{2} \cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$β \in Π_{2}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $Π_{2} \cap Π_{1}$ onto { $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的上界，则 $β$ 是 $Π_{2} \cap (Π_{1}$ onto $Π_{2} \cap (Π_{1}$ { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }))的最小成员

$β$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足{n:( $Π_{2} \cap Π_{1}$ $o n t o)^{n}$ { $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }}的上界，则 $β$ 是( $Π_{2} \cap Π_{1}$ $o n t o)^{(1, 0)}$ { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的最小成员

$β \in Π_{2}$ onto $Π_{2}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ 的上界，则 $β$ 是( $Π_{2}$ onto $Π_{2}$ ) $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$β \in Π_{3}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ 的上界，则 $β$ 是 $Π_{3} \cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ 的上界，则 $β$ 是{ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员并且 $β \in Π_{n}$ 反射

$β$ 是前 $n \in ω$ 个 $α$ 满足{ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的上界，则 $β$ 是 $Π_{1}$ onto ({ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }))的最小成员

$β \in Π_{2}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足{ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的上界，则 $β$ 是 $Π_{2} \cap (Π_{1}$ onto { $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }))的最小成员

$L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足{ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的上界，则 $β$ 是{ $γ : L_{γ}$ 稳定到 $L_{γ + 1}$ } $\cap$ ( $Π_{1}$ onto { $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap (Π_{1}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }))的最小成员

$β$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足{n:({ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap Π_{1}$ $o n t o)^{n}$ )}的上界，则 $β$ 是({ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap Π_{1}$ $o n t o)^{(1, 0)}$ 的最小成员

$β$ 是 $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的最小成员

$β$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的上界，则 $β$ 是 $Π_{1}$ $o n t o^{(1, 0)}$ ( $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$β \in Π_{2}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的上界，则 $β$ 是 $Π_{2} \cap$ ( $Π_{1}$ onto $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

$L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ 是前 $n \in β$ 个 $α$ 满足 $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ }的上界，则 $β$ 是{ $β : L_{β}$ 稳定到 $L_{β + 1}$ } $\cap$ ( $Π_{1}$ onto $Π_{2}$ onto { $α : L_{α}$ 稳定到 $L_{α + 1}$ })的最小成员

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 <math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>的<math>\Sigma_{n}</math>初等子结构，如果任取<math>\Sigma_{n}</math>公式<math>\varphi</math>均有单射j满足<math>L_{\alpha}</math>|=<math>\varphi</math>(<math>x_{1}</math>,<math>x_{2}</math>,…)等价于<math>L_{\beta}</math>|=<math>\varphi</math>(j(<math>x_{1}</math>),j(<math>x_{2}</math>),…)，也称其为<math>L_{\alpha}</math> <math>\Sigma_{n}</math>稳定到 <math>L_{\beta}</math><br>
-除此外，我们还有<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射用于表达一些精细的层级，其中<math>L_{\alpha}</math><math>\Sigma_{1}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br>
+除此外，我们还有<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射用于表达一些精细的层级，其中<math>L_{\alpha}</math><math>\Sigma_{1}</math>稳定到<math>L_{\beta}</math><br>(如未特别说明，下文的稳定到均为<math>\Sigma_{1}</math>稳定到)
 函数式定义:<br>
 <math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{f(\alpha)}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式<math>\varphi</math>及参数<math>\gamma\in L_{\alpha}</math>和<math>\gamma'\in L_{\alpha'}</math>
-有<math>L_{f(\alpha)}|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{f(\alpha')}|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>,对于<math>\alpha'\in\alpha\bigcap X</math><br>
+有<math>L_{f(\alpha)}|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{f(\alpha')}|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>,对于<math>\alpha'\in\alpha \cap X</math><br>
 序数式定义:<br>
-<math>L_{alpha}</math>是<math>L_{beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式，参数<math>\gamma\in\alpha</math>和<math>\gamma'\in\alpha'</math>有
+<math>L_{\alpha}</math>是<math>L_{\beta}</math>-<math>\Pi_{n}</math>反射 onto X，如果任取<math>\Pi_{n}</math>公式，参数<math>\gamma\in\alpha</math>和<math>\gamma'\in\alpha'</math>有
-<math>L_{\beta}|=\varphi(\alpha,\gamma)</math><math>\rightarrow</math><math>L_{\beta'}</math>
+<math>L_{\beta}|=\varphi(\alpha,\gamma)\rightarrow L_{\beta'}|=\varphi(\alpha',\gamma')</math>，对于<math>\beta'\in\alpha</math>和<math>\alpha'\in\alpha\cap X</math><br>
+关于函数式定义，由于<math>\omega</math>-ply的顶点下成员都是<math>\omega</math>-ply，这会到达f和<math>\alpha</math>的某种不动点，以至于无法继续行进<br>
+稳定序数有如下路径:<br>
+<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>，则任取<math>n\in\omega</math>有<math>\alpha\in\Pi_{n}</math>反射序数<br><br>
+<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br>
+<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega^{2}</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br>
+<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> <math>onto^{(1,0)}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br>
+<math>\beta\in\Pi_{2}</math>反射是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>
+<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>
+<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> onto {<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br>
+<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{n:(<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math><math> onto)^{n}</math>{<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}}的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}\cap\Pi_{1}</math> <math>onto)^{(1,0)}</math>{<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br>
+<math>\beta\in\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是(<math>\Pi_{2}</math> onto <math>\Pi_{2}</math>)<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>
+<math>\beta\in\Pi_{3}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{3}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>
+<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员并且<math>\beta\in\Pi_{n}</math>反射<br><br>
+<math>\beta</math>是前<math>n\in\omega</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> onto ({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br>
+<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br>
+<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\gamma:L_{\gamma}</math>稳定到<math>L_{\gamma+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto {<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap(\Pi_{1}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}))的最小成员<br><br>
+<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足{n:({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{n}</math>)}的上界，则<math>\beta</math>是({<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap\Pi_{1}</math><math>onto)^{(1,0)}</math>的最小成员<br><br>
+<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的最小成员<br><br>
+<math>\beta</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{1}</math> <math>onto^{(1,0)}</math>(<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>
+<math>\beta\in\Pi_{2}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是<math>\Pi_{2}\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>
+<math>L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>是前<math>n\in\beta</math>个<math>\alpha</math>满足<math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>}的上界，则<math>\beta</math>是{<math>\beta:L_{\beta}</math>稳定到<math>L_{\beta+1}</math>}<math>\cap</math>(<math>\Pi_{1}</math> onto <math>\Pi_{2}</math> onto {<math>\alpha : L_{\alpha}</math>稳定到<math>L_{\alpha+1}</math>})的最小成员<br><br>