Veblen 函数

Veblen函数(别名：$\phi$函数)是一个$\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}\mathrm{\to }\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}$的序数函数，由美国数学家Oswald Veblen定义。

定义

二元Veblen函数

Veblen函数的定义基于序数函数的不动点.

二元Veblen函数$\phi (\alpha ,\beta )(\alpha ,\beta \in \mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d})$的定义如下：

1. $\phi (0,\beta )=\phi (\beta )={\omega }^{\beta }$
2. $\phi (\alpha +1,\beta )$是函数$x\mapsto \phi (\alpha ,x)$的第$1+\beta$个不动点.
3. 对于极限序数$\alpha$,$\phi (\alpha ,\beta )$为所有$x\mapsto \phi (\gamma ,x)(\gamma <\alpha )$的第$1+\beta$个公共不动点.

其基本列定义如下：

1. $(\phi ({\alpha }_1,{\beta }_1)+\phi ({\alpha }_2,{\beta }_2)+\cdots +\phi ({\alpha }_k,{\beta }_k))[n]=\phi ({\alpha }_1,{\beta }_1)+\phi ({\alpha }_2,{\beta }_2)+\cdots +\phi ({\alpha }_k,{\beta }_k)[n]$
2. $\phi (0,0)=1$
3. $\phi (0,\beta +1)[n]=\phi (0,\beta )\cdot n$
4. 对于极限序数$\beta$,$\phi (\alpha ,\beta )[n]=\phi (\alpha ,\beta [n])$
5. $\phi (\alpha +1,0)[0]=0$
6. $\phi (\alpha +1,\beta +1)[0]=\phi (\alpha +1,\beta )+1$
7. $\phi (\alpha +1,\beta +1)[n+1]=\phi (\alpha ,\phi (\alpha +1,\beta +1)[n])$
8. 对于极限序数$\alpha$,$\phi (\alpha ,0)[n]=\phi (\alpha [n],0)$
9. 对于极限序数$\alpha$,$\phi (\alpha ,\beta +1)[n]=\phi (\alpha [n],\phi (\alpha ,\beta )+1)$