Veblen 函数：修订间差异

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2025年7月3日 (四) 22:56的版本

Veblen函数(别名： $φ$ 函数)是一个 $O r d \to O r d$ 的序数函数，由美国数学家Oswald Veblen定义。

定义

二元Veblen函数

Veblen函数的定义基于序数函数的不动点.

二元Veblen函数 $φ (α, β) (α, β \in O r d)$ 的定义如下：

$φ (0, β) = φ (β) = ω^{β}$
$φ (α + 1, β)$ 是函数 $x \mapsto φ (α, x)$ 的第 $1 + β$ 个不动点.
对于极限序数 $α$ , $φ (α, β)$ 为所有 $x \mapsto φ (γ, x) (γ < α)$ 的第 $1 + β$ 个公共不动点.

其基本列定义如下：

$(φ (α_{1}, β_{1}) + φ (α_{2}, β_{2}) + \dots + φ (α_{k}, β_{k})) [n] = φ (α_{1}, β_{1}) + φ (α_{2}, β_{2}) + \dots + φ (α_{k}, β_{k}) [n]$
$φ (0, 0) = 1$
$φ (0, β + 1) [n] = φ (0, β) \cdot n$
对于极限序数 $β$ , $φ (α, β) [n] = φ (α, β [n])$
$φ (α + 1, 0) [0] = 0$
$φ (α + 1, β + 1) [0] = φ (α + 1, β) + 1$
$φ (α + 1, β + 1) [n + 1] = φ (α, φ (α + 1, β + 1) [n])$
对于极限序数 $α$ , $φ (α, 0) [n] = φ (α [n], 0)$
对于极限序数 $α$ , $φ (α, β + 1) [n] = φ (α [n], φ (α, β) + 1)$

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 '''Veblen函数(别名：<math>\varphi</math>函数)'''是一个<math>\rm Ord\rightarrow Ord</math>的序数函数，由美国数学家Oswald Veblen定义。
-==== 定义 ====
+== 定义 ==
+=== 二元Veblen函数 ===
+Veblen函数的定义基于序数函数的[[不动点]].
+二元Veblen函数<math>\varphi(\alpha,\beta)~(\alpha,\beta\in\mathrm{Ord})</math>的定义如下：
+# <math>\varphi(0,\beta)=\varphi(\beta)=\omega^\beta</math>
+# <math>\varphi(\alpha+1,\beta)</math>是函数<math>x\mapsto\varphi(\alpha,x)</math>的第<math>1+\beta</math>个不动点.
+# 对于[[序数#极限序数|极限序数]]<math>\alpha</math>,<math>\varphi(\alpha,\beta)</math>为所有<math>x\mapsto\varphi(\gamma,x)(\gamma<\alpha)</math>的第<math>1+\beta</math>个公共不动点.
+其基本列定义如下：
+# <math>(\varphi(\alpha_1,\beta_1)+\varphi(\alpha_2,\beta_2)+\cdots+\varphi(\alpha_k,\beta_k))[n]=\varphi(\alpha_1,\beta_1)+\varphi(\alpha_2,\beta_2)+\cdots+\varphi(\alpha_k,\beta_k)[n]</math>
+# <math>\varphi(0,0)=1</math>
+# <math>\varphi(0,\beta+1)[n]=\varphi(0,\beta)\cdot n</math>
+# 对于极限序数<math>\beta</math>,<math>\varphi(\alpha,\beta)[n]=\varphi(\alpha,\beta[n])</math>
+# <math>\varphi(\alpha+1,0)[0]=0</math>
+# <math>\varphi(\alpha+1,\beta+1)[0]=\varphi(\alpha+1,\beta)+1</math>
+# <math>\varphi(\alpha+1,\beta+1)[n+1]=\varphi(\alpha,\varphi(\alpha+1,\beta+1)[n])</math>
+# 对于极限序数<math>\alpha</math>,<math>\varphi(\alpha,0)[n]=\varphi(\alpha[n],0)</math>
+# 对于极限序数<math>\alpha</math>,<math>\varphi(\alpha,\beta+1)[n]=\varphi(\alpha[n],\varphi(\alpha,\beta)+1)</math>
+=== 有限元Veblen函数 ===
+=== 序数元Veblen函数 ===