序数

序数是自然数的推广。

直观理解

顾名思义，序数是用来排序的号码。比方说，我们想要按照好吃程度从小到大来排序{树叶，屎，蛋糕}这个集合，我们就可以用到序数。

号码	元素
0	屎
1	树叶
2	蛋糕

最小的序数是0，因而我们从0开始排序。这只是一个很简单的排序，还没有超过自然数的范畴。

现在考虑对这个集合$\{1/2,3/4,7/8,\dots \}\cup \{1\}$,按照＜来排序：

号码	元素
1/2	0
3/4	1
7/8	2
……	……
1	？

注意到当我们为1/2,3/4,7/8,……这些元素排序时，已经用尽了全部的自然数。但我们又要为1编号。1大于前面的所有元素，因此，1的号码需要是一个大于全体自然数的东西。它依然是序数（因为我们定义序数就是为了处理这种情况），我们给它命名为ω。

想象一下我们在此基础上又要给$\{3/2,7/4,15/8,\dots \}\cup \{2\}$编号。因此我们还需要越来越多的大于ω的序数。随着“编号游戏”的对象愈发复杂，我们所需要的序数也愈发庞大，复杂，单纯靠直观理解已经难以为继，因此我们需要看以下的内容。

数学定义

序数是在∈序上良序的传递集（传递集即满足每个元素都是自身的子集）

如

$0=\varnothing =\{\}$

$1=\{0\}$

$2=\{0,1\}$

$3=\{0,1,2\}$

$1048576=\{0,1,2,3,...,1048575\}$

序数的后继

序数$\alpha$的后继被定义为$\alpha +1=\alpha \cup \{\alpha \}$。它也是所有序数运算的基础。

如$2+1=2\cup \{2\}=\{0,1\}\cup \{2\}=\{0,1,2\}=3$，$n+1=n\cup \{n\}=\{0,1,2,3,...,n\}$。

有限序数与超限序数

所有自然数都是有限序数。

大于任意有限序数的序数称作超限序数(或无限序数)

极限序数

不是 $0$且不是任何序数的后继的序数被称为极限序数。（$0$有时也被视为极限序数）

即序数$\lambda$是极限序数要满足“不存在某个序数$\alpha$使得$\lambda =\alpha +1$”。

如果$\lambda$是极限序数，那么$\lambda =\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{\alpha |\alpha <\lambda \}$。("$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}$"为"上确界"，一般可以省略不写)

$\omega$被定义为全体自然数的集合，$\omega =\mathbb{\mathbb{N}}=\{0,1,2,3,...\}$既是第一个超限序数，也是第一个极限序数。

序数的运算

1.序数加法

$\alpha +0=\alpha$

$\alpha +(\beta +1)=(\alpha +\beta )+1$

$\alpha +\beta =\bigcup _{\gamma <\beta }(\alpha +\gamma )$，如果$\beta$是极限序数。

序数加法不具有交换律，但具有结合律。即

$\alpha +\beta \ne \beta +\alpha ,(\alpha +\beta )+\gamma =\alpha +(\beta +\gamma )$

例：$1+\omega =\bigcup _{\gamma <\omega }(1+\gamma )=\{1+0,1+1,1+2,...\}=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{1,2,3,...\}=\omega \ne \omega +1$

2.序数乘法

$\alpha \times 0=0$

$\alpha \times (\beta +1)=(\alpha \times \beta )+\alpha$

$\alpha \times \beta =\bigcup _{\gamma <\beta }(\alpha \times \gamma )$，如果$\beta$是极限序数。

序数乘法不具有交换律和右分配律，但具有结合律和左分配律。即

$1.\alpha \times \beta \ne \beta \times \alpha ,(\alpha \times \beta )\times \gamma =\alpha \times (\beta \times \gamma )$

$2.(\alpha +\beta )\times \gamma \ne (\alpha \times \gamma )+(\beta \times \gamma ),\alpha \times (\beta +\gamma )=(\alpha \times \beta )+(\alpha \times \gamma )$

例：

$\begin{array}{rl}(\omega +1)\times \omega & =\bigcup _{\gamma <\omega }((\omega +1)\times \gamma )\\ & =\{(\omega +1)\times 0,(\omega +1)\times 1,(\omega +1)\times 2,...\}\\ & =\{0,\omega +1,\omega +(1+\omega )+1,\omega +(1+\omega )+(1+\omega )+1,...\}\\ & =\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{0,\omega +1,\omega \times 2+1,\omega \times 3+1,...\}={\omega }^2\\ & \ne \omega \times (\omega +1)={\omega }^2+\omega \end{array}$

Q:为什么不是${\omega }^2+1$？

A: 我们知道${\omega }^2+1={\omega }^2\cup \{{\omega }^2\}=\{0,1,2,...,\omega ,\omega +1,...,\omega \times 2,...,\omega \times 3,...,{\omega }^2\}$

而$\bigcup _{\gamma <\omega }(\omega \times \gamma +1)$中显然没有任何一个元素能够达到或是超过${\omega }^2$,因此它们的上确界也不会超过${\omega }^2$。

其实也可以换一个方向思考：既然$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{\omega ,\omega \times 2,\omega \times 3,...\}={\omega }^2$

而$\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{0,\omega +1,\omega \times 2+1,\omega \times 3+1,...\}$中从小到大排列的每一项都比前者小，因此也不会超过${\omega }^2$。

3.序数的指数运算

${\alpha }^0=1$

${\alpha }^{\beta +1}={\alpha }^{\beta }\times \alpha$

${\alpha }^{\beta }=\bigcup _{\gamma <\beta }({\alpha }^{\gamma })$，如果$\beta$是极限序数。

序数的指数不具有对底数乘法的分配律，但指数加法具有对底数的分配律。即

$(\alpha \times \beta {)}^{\gamma }\ne {\alpha }^{\gamma }\times {\beta }^{\gamma },{\alpha }^{\beta +\gamma }={\alpha }^{\beta }\times {\alpha }^{\gamma }$

例：

$\begin{array}{rl}(2\times 3{)}^{\omega }& =6^{\omega }=\bigcup _{\gamma <\omega }(6^{\gamma })=\{6^0,6^1,6^2,...\}=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{1,6,36,...\}=\omega \\ & \ne 2^{\omega }\times 3^{\omega }=\bigcup _{\gamma <\omega }(2^{\gamma })\times \bigcup _{\gamma <\omega }(3^{\gamma })=\omega \times \omega ={\omega }^2\end{array}$

${\epsilon }_0$是第一个满足${\omega }^{\alpha }=\alpha$的不动点。

${\omega }^{{\epsilon }_0}=\bigcup _{\gamma <{\epsilon }_0}({\omega }^{\gamma })=\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{1,\omega ,{\omega }^2,...,{\omega }^{\omega },...,{\omega }^{{\omega }^{\omega }},...\}={\epsilon }_0$

${\epsilon }_0\times \omega ={\omega }^{{\epsilon }_0}\times \omega ={\omega }^{{\epsilon }_0+1}$