葛立恒数：修订间差异

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2025年7月2日 (三) 09:33的版本

葛立恒数（Graham's Number）是拉姆齐理论中一个问题（即葛立恒问题）的上界。它也是大数领域中最著名的数之一，与TREE(3)、SCG(3)齐名。

定义

葛立恒函数

葛立恒函数（Graham's Function）是用高德纳箭头递归定义的：

$G (n) = {\begin{cases} 3 ↑^{G (n - 1)} 3 & , n \neq 0 \\ 4 & , n = 0 \end{cases}$

葛立恒函数的 FGH 增长率约为 $ω + 1$ 。

葛立恒数

葛立恒数被定义为 $G (64)$ （有时也被写作 $G, g_{64}, g (64)$ 等）。

更出名的一个写法是：

$G (64) = \begin{matrix} 3 \underset{⏟}{↑ ↑ \dots \dots \dots \dots \dots ↑} 3 \\ 3 \underset{⏟}{↑ ↑ \dots \dots \dots \dots ↑} 3 \\ \underset{⏟}{⋮} \\ 3 \underset{⏟}{↑ ↑ \dots \dots ↑} 3 \\ 3 ↑ ↑ ↑ ↑ 3 \end{matrix}} 64 layers$

历史

葛立恒数源于拉姆齐理论中以下未解决的问题：^[1]

设 $N$ 为超立方体的最小维度 $n$ ，使得对于任意 $n ⩾ N$ ，若将连接所有顶点对的线段用两种颜色着色，则必然存在一个单色的完全图 K₄（其顶点共面）。求N*的值。

图中展示了一个立方体的示例，包含 12 个共面的 K₄ 完全图，其中下方显示了一个单色 K₄。若将该 K₄ 底部的边改为蓝色，则立方体中将不存在单色的共面 K₄，从而证明 $N^{*}$ 至少为 4。

为理解问题，首先考虑任意维度的超立方体（1维为线段，2维为正方形，3维为立方体，4维为超立方体等），记其维度为 $N$ 。然后想象将所有顶点对用线段连接，并用红色或蓝色为每条线段着色（右侧展示了3维立方体的一种着色方式）。问题要求找到最小的维度 $N$ ，使得所有可能的着色方式中必然存在一个单色的完全图 K₄（由四个两两相连的顶点构成，且所有边颜色相同）。

1971 年，R.L.Graham 和 B.L.Rothschild 在他们的论文^[2]中为葛立恒问题提供的上界是 $F (F (F (F (F (F (F (12, 3), 3), 3), 3), 3), 3), 3)$ ，其中 $F$ 函数的定义为： $F (m, n) = {\begin{cases} F (m - 1, F (m, n - 1)) & , m ⩾ 1 and n ⩾ 2 \\ 2^{n} & , m = 1 \\ 4 & , n = 2 \end{cases}$ ，这相当于 $F^{7} (12)$ 其中 $F (n) = 2 ↑^{n} 3$ 。Sbiis Saibian 称这个数字为 “Little Graham”。

1976 年，Donald E.Knuth 在他的论文^[3]中定义了现在所使用的高德纳箭头。

1977 年，M.Gardner 在他的文章^[4]中定义了现在的葛立恒数。Gardner 在发现这个数字的大小时，发现很难解释，他设计了一个更大、更容易解释的数字，格雷厄姆在 1977 年一篇未发表的论文中证明了这一点。他在 Scintific Amercian 上写了关于这个数字的文章，它甚至在 1980 年作为数学证明中使用的最大数字进入吉尼斯世界纪录，尽管几年后该称号从吉尼斯世界纪录中删除。一说是 Gardner 在与 Graham 交流后，Graham 给他提供的这个较为宽松的上界，但无从考证，Gardner 的原文章里也没有提及此事。

1995 年，John.H.Conway 和 Richard.K.Guy 在 The Book of Numbers 一书^[5]中给出了葛立恒数，这被许多人认为是它的来源。

2013 年，使用 Hales-Jewett 定理^[6]将上限进一步降低到 $N^{*} = 2 ↑ ↑ 2 ↑ ↑ (3 + 2 ↑ ↑ 8)$ ，并在 2019 年^[7]进一步降低到 $(2 ↑ ↑ 5138) \times ((2 ↑ ↑ 5140) ↑ ↑ (2 \times 2 ↑ ↑ 5137)) ≪ 2 ↑ ↑ ↑ 5$ 。截至 2014 年，最著名的 N* $N^{*}$ 下限是 13^[8]，由 Jerome Barkley 在 2008 年提出。

参考资料

↑ Weisstein, Eric W. "Graham's Number." From MathWorld--A Wolfram Resource. https://mathworld.wolfram.com/GrahamsNumber.html
↑ GRAHAM R L, ROTHSCHILD B L. Ramsey’s theorem for ff-parameter sets[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1971, 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf
↑ Donald E. Knuth, Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness, Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations, Science 194, pp. 1235--1242, 1976.https://cse-robotics.engr.tamu.edu/dshell/cs625/finiteness.pdf
↑ GARDNER M. Mathematical games[J]. Scientific American, 1977, 237(3): 28-38.https://raw.githubusercontent.com/AllenDowney/ModSimPy/master/papers/scientific_american_nov_77.pdf
↑ Conway, J. H., & Guy, R. K. (1995). The Book of Numbers. Copernicus. https://studylib.net/doc/26253636/the-book-of-numbers
↑ http://arxiv.org/abs/1304.6910
↑ http://arxiv.org/abs/1905.05617
↑ http://arxiv.org/abs/0811.1055

[1] Weisstein, Eric W. "Graham's Number." From MathWorld--A Wolfram Resource. https://mathworld.wolfram.com/GrahamsNumber.html

[2] GRAHAM R L, ROTHSCHILD B L. Ramsey’s theorem for ff-parameter sets[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1971, 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf

[3] Donald E. Knuth, Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness, Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations, Science 194, pp. 1235--1242, 1976.https://cse-robotics.engr.tamu.edu/dshell/cs625/finiteness.pdf

[4] GARDNER M. Mathematical games[J]. Scientific American, 1977, 237(3): 28-38.https://raw.githubusercontent.com/AllenDowney/ModSimPy/master/papers/scientific_american_nov_77.pdf

[5] Conway, J. H., & Guy, R. K. (1995). The Book of Numbers. Copernicus. https://studylib.net/doc/26253636/the-book-of-numbers

[6] ttp://arxiv.org/abs/1304.6910

[7] ttp://arxiv.org/abs/1905.05617

[8] ttp://arxiv.org/abs/0811.1055

[1]

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-'''葛立恒数'''是拉姆齐理论中一个问题（即葛立恒问题）的上界。它也是大数领域中最著名的数之一，与TREE(3)、SCG(3)齐名。
+'''葛立恒数'''（Graham's Number）是拉姆齐理论中一个问题（即葛立恒问题）的上界。它也是大数领域中最著名的数之一，与TREE(3)、SCG(3)齐名。
-==== 定义 ====
+=== 定义 ===
-===== 葛立恒函数 =====
+==== 葛立恒函数 ====
-葛立恒函数是用[[高德纳箭头]]递归定义的：
+葛立恒函数（Graham's Function）是用[[高德纳箭头]]递归定义的：
-<math>G(0)=4</math>
+<math>G(n)=\begin{cases}3\uparrow^{G(n-1)}3&,n\neq0\\4&,n=0\end{cases}</math>
-<math>G(1)=3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3</math>
+葛立恒函数的 [[FGH]] [[增长率]]约为<math>\omega +1</math>。
-<math>G(n+1)=3\uparrow^{G(n)}3</math>
+==== 葛立恒数 ====
+葛立恒数被定义为 <math>G(64)</math>（有时也被写作 <math>G,g_{64},g(64)</math> 等）。
-葛立恒函数的[[FGH]][[增长率]]约为<math>\omega +1</math>。
+更出名的一个写法是：
-===== 葛立恒数 =====
+<math>G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers}</math>
-葛立恒数被定义为<math>G(64)</math>。（有时也被写作<math>G</math>、<math>g_{64}</math>、<math>g(64)</math>）
+=== 历史 ===
+葛立恒数源于拉姆齐理论中以下未解决的问题：<ref>Weisstein, Eric W. "Graham's Number." From ''MathWorld''--A Wolfram Resource. https://mathworld.wolfram.com/GrahamsNumber.html</ref>
+设 <math>N</math> ''为超立方体的最小维度'' <math>n</math>''，使得对于任意'' <chem>n\geqslant N</chem>，若将连接所有顶点对的线段用两种颜色着色，则必然存在一个单色的完全图 K₄（其顶点共面）。求N*的值。
+[[文件:GrahamCube.png|缩略图|图中展示了一个立方体的示例，包含 12 个共面的 K₄ 完全图，其中下方显示了一个单色 K₄。若将该 K₄ 底部的边改为蓝色，则立方体中将不存在单色的共面 K₄，从而证明 <math>N^*</math> 至少为 4。]]
+为理解问题，首先考虑任意维度的超立方体（1维为线段，2维为正方形，3维为立方体，4维为超立方体等），记其维度为 <math>N</math>。然后想象将所有顶点对用线段连接，并用红色或蓝色为每条线段着色（右侧展示了3维立方体的一种着色方式）。问题要求找到最小的维度 <math>N</math>，使得所有可能的着色方式中必然存在一个单色的完全图 K₄（由四个两两相连的顶点构成，且所有边颜色相同）。
-<math>G(64)=\left. \begin{matrix} 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow}3 \\ \underbrace{\qquad \quad \vdots \qquad \quad} \\3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow}3 \\3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow3\end{matrix} \right \} \text{64 layers}</math>
+年，R.L.Graham 和 B.L.Rothschild 在他们的论文<ref>GRAHAM R L, ROTHSCHILD B L. Ramsey’s theorem for ff-parameter sets[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1971, 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf</ref>中为葛立恒问题提供的上界是 <math>F(F(F(F(F(F(F(12,3),3),3),3),3),3),3)</math>，其中 <math>F</math> 函数的定义为： <math>F(m,n)=\begin{cases}F(m-1,F(m,n-1))&,m\geqslant1\text{ and }n\geqslant2\\2^n&,m=1\\4&,n=2\end{cases}</math>，这相当于 <math>F^7(12)</math> 其中 <math>F(n)=2\uparrow^n3</math>。Sbiis Saibian 称这个数字为 “Little Graham”。
-==== 历史 ====
+年，Donald E.Knuth 在他的论文<ref>Donald E. Knuth, ''Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness'', Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations, Science 194, pp. 1235--1242, 1976.https://cse-robotics.engr.tamu.edu/dshell/cs625/finiteness.pdf</ref>中定义了现在所使用的高德纳箭头。
-葛立恒数的作者其实并非葛立恒。葛立恒最早在1971年<ref>GRAHAM R L, ROTHSCHILD B L. Ramsey’s theorem for ff-parameter sets[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1971, 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf</ref>对葛立恒问题提供的上界为
-<math>F^7(12)=F(F(F(F(F(F(F(12)))))))</math>，其中<math>F(n)</math>的定义等价于使用了高德纳箭头的<math>2\uparrow ^n 3</math>.
+年，M.Gardner 在他的文章<ref>GARDNER M. Mathematical games[J]. Scientific American, 1977, 237(3): 28-38.https://raw.githubusercontent.com/AllenDowney/ModSimPy/master/papers/scientific_american_nov_77.pdf</ref>中定义了现在的葛立恒数。Gardner 在发现这个数字的大小时，发现很难解释，他设计了一个更大、更容易解释的数字，格雷厄姆在 1977 年一篇未发表的论文中证明了这一点。他在 Scintific Amercian 上写了关于这个数字的文章，它甚至在 1980 年作为数学证明中使用的最大数字进入吉尼斯世界纪录，尽管几年后该称号从吉尼斯世界纪录中删除。一说是 Gardner 在与 Graham 交流后，Graham 给他提供的这个较为宽松的上界，但无从考证，Gardner 的原文章里也没有提及此事。
-而高德纳箭头在1976年才在出现在高德纳的论文<ref>Donald E. Knuth, ''Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness'', Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations, Science 194, pp. 1235--1242, 1976.https://cse-robotics.engr.tamu.edu/dshell/cs625/finiteness.pdf</ref>中。现在的葛立恒数实际出自于加德纳在1977年发表的文章<ref>GARDNER M. Mathematical games[J]. Scientific American, 1977, 237(3): 28-38.https://raw.githubusercontent.com/AllenDowney/ModSimPy/master/papers/scientific_american_nov_77.pdf</ref>。
+年，John.H.Conway 和 Richard.K.Guy 在 The Book of Numbers 一书<ref>Conway, J. H., & Guy, R. K. (1995). The Book of Numbers. Copernicus. https://studylib.net/doc/26253636/the-book-of-numbers</ref>中给出了葛立恒数，这被许多人认为是它的来源。
-一说是加德纳在与葛立恒交流后，葛立恒给他提供的这个较为宽松的上界，但无从考证。加德纳的原文章里也没有提及此事。
+年，使用 Hales-Jewett 定理<ref>http://arxiv.org/abs/1304.6910</ref>将上限进一步降低到 <math>N^*=2\uparrow\uparrow2\uparrow\uparrow(3+2\uparrow\uparrow8)</math>，并在 2019 年<ref>http://arxiv.org/abs/1905.05617</ref>进一步降低到 <math>(2\uparrow\uparrow5138)\times((2\uparrow\uparrow5140)\uparrow\uparrow(2\times2\uparrow\uparrow5137))\ll2\uparrow\uparrow\uparrow5</math>。截至 2014 年，最著名的 ''N*''<math>N^*</math> ''下''限是 13<ref>http://arxiv.org/abs/0811.1055</ref>，由 Jerome Barkley 在 2008 年提出。
-==== 参考资料 ====
+=== 参考资料 ===
 <references />
 [[分类:入门]]
 [[分类:经典大数]]