冯诺依曼宇宙

冯诺依曼宇宙，即良基集合宇宙 WF，是冯诺依曼提出的一个由累加层次归纳构建的集论模型。

定义

在正则公理的基础上，冯诺依曼宇宙和集论全域 $V=\{x:x=x\}$ 是一个集论模型。我们将$V$的一个累加层次称为$V_{\alpha }$，其中$\alpha$是一个序数。有如下定义：

• $V_0=\mathrm{\varnothing }$
• $V_{\alpha +1}=\mathfrak{𝔓}(V_{\alpha })$
• $V_{\alpha }={\cup }_{\beta <\alpha }{V}_{\beta }$，当 $\alpha$ 是极限序数
• $V={\cup }_{\alpha \in Ord}{V}_{\alpha }$

性质

我们可以得出这个模型拥有许多良好的性质，例如

任何一个 $V_{\alpha }$ 都是一个传递集，对于任意 $\alpha$，$\alpha \subset V_{\alpha }$，并且可以根据“任何集合都在 V 中”这个属性来定义集合的秩（rank）。

冯诺依曼宇宙被认为是集论的“预备模型”，即如果 ZFC 是一致的，那么 $V_{\alpha }$ 是它的一个模型，其中$\alpha$$V$ 也被称为集合论宇宙。

$V$ 的一些累加层次可以作为 ZFC 公理体系的弱化版的模型，例如 ZF-INF 的模型可以是 $V_{\omega }$，Z 的模型可以是$V_{\omega \times 2}$。

补充

$V$是一个真类(如果是集合的话，就会出现$V\in V$，违反正则公理)不能作为对象，也不能参加任何运算