滤子：修订间差异

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2026年2月25日 (三) 18:09的版本

滤子是一类常见的集合论对象，在多个非集合论强相关的数学领域也多有应用（但也可能是它的对偶，即理想）。

定义

我们称对于一个集合 $S$ 而言，作为 $P (S)$ 子集的 $F$ 是 $S$ 上的一个滤子，当且仅当：

$\emptyset \notin F$ 且 $S \in F$
如果 $A \in F$ 且 $A$ 是 $B$ 的子集，那么 $B \in F$
如果 $A$ ， $B \in F$ ，则 $A \cap B \in F$

这就是滤子的所有要求。

类型

对于一个 $S$ 上滤子 $F$ ，如果存在一个 $S$ 的非空子集 $C$ 使得任意 $X \in F$ 而言， $C$ 是 $X$ 的子集，那么我们称 $F$ 是一个主滤子。反之，则称其是一个非主滤子。

下面我们举出一个经典非主滤子的例子：

frechet滤子(余有限滤子)：对于一个无穷集合 $S$ ,集合 $F = {X 是 S 的子集 : S - X 是有限集}$ 是 $S$ 上的一个frechet滤子，并且它是非主的。

一个滤子 $F$ 被称为超滤，当且仅当对于任意 $S$ 的子集 $X$ 而言，要么 $X \in F$ ,要么 $S - X \in F$ .

同时，一个滤子 $F$ 是极大的，当且仅当不存在 $S$ 上滤子 $F_{1}$ 使得 $F$ 是 $F_{1}$ 的子集。

可以证明，极大滤子和超滤是等价的。

性质

由此，我们有了以下的引理：

引理1 (tarski)：任何一个滤子都能被扩张为一个超滤。

证明：我们考虑一个集合 $S$ 上包含起始滤子 $F$ 的全体滤子构成的偏序集 $A$ ，使得子集关系成为其上的偏序。现在，考虑任何一条滤子之间构成的子集链 $⟨ F_{n} : n \in ord ⟩$

我们可以验证，任何一个滤子之间构成的子集链的并也是一个滤子，那么它应该也是 $A$ 的元素。那么，这也就是在说，任何 $A$ 上这个子集偏序的链都有上界。由zorn引理， $A$ 存在极大元 $U$ ，那么它应该是一个极大滤子，则它是一个超滤，得证。

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-滤子是一类常见的集合论对象，在多个非集合论强相关的数学领域也多有应用（但也可能是它的对偶，即理想）
+'''滤子'''是一类常见的集合论对象，在多个非集合论强相关的数学领域也多有应用（但也可能是它的对偶，即[[理想]]）。
-我们称对于一个集合S而言，作为P(S)子集的F是S上的一个滤子，当且仅当：
+== 定义 ==
-.∅∉F且S∈F
+我们称对于一个集合<math>S</math>而言，作为<math>P(S)</math>子集的<math>F</math>是<math>S</math>上的一个'''滤子'''，当且仅当：
-.如果A∈F且A是B的子集，那么B∈F
+# <math>\emptyset \notin F</math>且<math>S \in F</math>
+# 如果<math>A \in F</math>且<math>A</math>是<math>B</math>的子集，那么<math>B \in F</math>
+# 如果<math>A</math>，<math>B \in F</math>，则<math>A \cap B \in F</math>
-.如果A，B∈F，则A∩B∈F
+这就是滤子的所有要求。
+== 类型 ==
+对于一个<math>S</math>上滤子<math>F</math>，如果存在一个<math>S</math>的非空子集<math>C</math>使得任意<math>X \in F</math>而言，<math>C</math>是<math>X</math>的子集，那么我们称<math>F</math>是一个'''主滤子'''。反之，则称其是一个'''非主滤子'''。
-这就是滤子的所有要求。
+下面我们举出一个经典非主滤子的例子：
-对于一个S上滤子F，如果存在一个S的非空子集C使得任意X∈F而言，C是X的子集，那么我们称F是一个主滤子。反之，则称其是一个非主滤子
+frechet滤子(余有限滤子)：
+对于一个无穷集合<math>S</math>,集合<math>F=\{X\text{是}S\text{的子集}:S-X\text{是有限集}\}</math>是<math>S</math>上的一个'''frechet滤子'''，并且它是非主的。
-下面我们举出一个经典非主滤子的例子：frechet滤子(余有限滤子)：对于一个无穷集合S,集合F={X是S的子集：S-X是有限集}是S上的一个frechet滤子，并且它是非主的。
+一个滤子<math>F</math>被称为'''超滤'''，当且仅当对于任意<math>S</math>的子集<math>X</math>而言，要么<math>X \in F</math>,要么<math>S-X \in F</math>.
-一个滤子F被称为超滤，当且仅当对于任意S的子集X而言，要么X∈F,要么S-X∈F。
+同时，一个滤子<math>F</math>是'''极大的'''，当且仅当不存在<math>S</math>上滤子<math>F_1</math>使得<math>F</math>是<math>F_1</math>的子集。
-同时，一个滤子F是极大的，当且仅当不存在S上滤子F1使得F是F1的子集
+可以证明，极大滤子和超滤是等价的。
-可以证明，极大滤子和超滤是等价的
+== 性质 ==
 由此，我们有了以下的引理：
-lemma1 :(tarski)任何一个滤子都能被扩张为一个超滤
+'''引理1 (tarski)'''：任何一个滤子都能被扩张为一个超滤。
-证明如下:我们考虑一个集合S上包含起始滤子F的全体滤子构成的偏序集A，使得子集关系成为其上的偏序。现在，考虑任何一条滤子之间构成的子集链<F_n:n∈ord>
+证明：我们考虑一个集合<math>S</math>上包含起始滤子<math>F</math>的全体滤子构成的[[良序#偏序集|偏序集]]<math>A</math>，使得子集关系成为其上的偏序。现在，考虑任何一条滤子之间构成的子集链<math>\langle F_n : n \in \text{ord} \rangle</math>
-我们可以验证，任何一个滤子之间构成的子集链的并也是一个滤子，那么它应该也是A的元素。那么，这也就是在说，任何A上这个子集偏序的链都有上界。由zorn引理，A存在极大元U，那么它应该是一个极大滤子，则它是一个超滤，得证。
+我们可以验证，任何一个滤子之间构成的子集链的并也是一个滤子，那么它应该也是<math>A</math>的元素。那么，这也就是在说，任何<math>A</math>上这个子集偏序的链都有上界。由zorn引理，<math>A</math>存在极大元<math>U</math>，那么它应该是一个极大滤子，则它是一个超滤，得证。