哥德尔不完备性

以下是 Gödel 关于完备性定理的证明。

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众所周知，怀特海和罗素构建逻辑和数学的方法是，将某些显而易见的命题置于公理之上，并根据一些精确表述的推理原理，以纯粹形式化的方式（即不再诉诸符号含义）从中推导出逻辑和数学命题。这种思路自然会立即引发一个问题：置于顶端的公理和推理原理体系是否完备，即是否真的足以推导出所有逻辑数学命题？或者，是否可以设想出一些无法在现有体系中推导出的真命题（根据其他原理，这些命题或许是可证明的）。在逻辑命题公式领域，这个问题已得到肯定的解决，即已经证明，所有正确的命题公式实际上都源于《数学原理》中给出的公理。这里，我们将对更广泛的公式进行同样的处理，即“狭义函数演算”的公式，如下所示：

定理 I 每一个普遍有效的公式都是可证明的。

我们基于以下公理系统：

未定义基本概念：$v,\mathrm{\neg },(x)$。[由此，$\mathrm{\&},\to ,\mathrm{\infty },(Ex)$ 可以用众所周知的方式定义。]

正式公理：

1. $X\vee X\to X$

2. $X\to X\vee Y$

3. $X\vee Y\to Y\vee X$

4. $(X\to Y)\to [Z\vee X\to Z\vee Y]$

5. $(x)F(x)\to F^{\prime }(y)$

6. $(x)[X\vee F(x)]\to X\vee (x)F(x)$。

推理规则：

1. 推理方案：$B$ 可由 $A$ 和 $A\to B$ 推断出来。 2. 命题变量和函数变量的代换规则。 3. 从 $A(x)$ 可推断 $(x)A(x)$。 4. 单个变量（自由或有界）可以用任何其他变量替换，只要替换后的变量不与同名变量的定义域重叠即可。

为了便于理解，有必要引入一些缩写符号。

$({ℰ}),(Q),(R)$ 等表示以某种方式构造的前缀，即形式为以下的有限字符序列: $(x)(Ey),(y)(x)(Ez)(u)$ 等。

小写德语字母 $\mathfrak{𝔯},\mathfrak{𝔶},\mathfrak{𝔲},\mathfrak{𝔳}$ 等表示由单个变量组成的 $n$ 元组，即形式为以下的字符序列: $xyz,x_2{x}_1{x}_2{x}_3$ 等，其中同一个变量可以出现多次。符号 $(x),(Ex)$ 等应作相应理解。如果一个变量在 $\mathfrak{𝔯}$ 中出现多次，那么它自然应该被认为在 $(\mathfrak{𝔯}),(E\mathfrak{𝔯})$ 中只出现一次。

此外，我们需要一些辅助定理，这里总结如下。由于有些证明已知，有些证明很容易补充，因此这里就不给出证明了:

1. 对于每个 $n$ 元组 $\mathfrak{𝔯}$，以下证明是可证的:

(a) $(\mathfrak{𝔯})F(\mathfrak{𝔯})\to (E\mathfrak{𝔯})F(\mathfrak{𝔯})$

(b) $(\mathfrak{𝔯})F(\mathfrak{𝔯})\mathrm{\&}(E\mathfrak{𝔯})G(\mathfrak{𝔯})\to (E\mathfrak{𝔯})[F(\mathfrak{𝔯})\mathrm{\&}G(\mathfrak{𝔯})]$

(c) $(\mathfrak{𝔯})\overline{F(\mathfrak{𝔯})}\sim \overline{(E\mathfrak{𝔯})F(\mathfrak{𝔯})}$

2. 如果 $x$ 和 ${\mathfrak{𝔯}}^{\prime }$ 仅在变量顺序上不同，则可以证明:

$(E\mathfrak{𝔯})F(\mathfrak{𝔯})\to (E{\mathfrak{𝔯}}^{\prime })F(\mathfrak{𝔯})$

3. 如果 $\mathfrak{𝔯}$ 由多个不同的变量组成，且位数与 $\mathfrak{𝔯}$ 相同，则可以证明:

$(\mathfrak{𝔯})F(\mathfrak{𝔯})\to ({\mathfrak{𝔯}}^{\prime })F({\mathfrak{𝔯}}^{\prime })$

即使 ${\mathfrak{𝔯}}^{\prime }$ 包含多个相同的变量。

1. 如果 $(p_i)$ 表示前缀 $(x_i)$ 之一，$(E{x}_i)$；且 $(q_i)$ 是前缀 $(y_i),(E{y}_i)$ 之一，则可证:

$(p_1)(p_2)\dots (p_n)F(x_1{x}_2\dots x_n)\mathrm{\&}(q_1)(q_2)\dots (q_m)G(y_1{y}_2\dots y_m)\sim \sim (P)[F(x_1{x}_2\dots x_n)\mathrm{\&}G(y_1{y}_2\dots y_m){]}^{\mathrm{\top }}$ 

对于每个由 $(p_i)$ 和 $(q_i)$ 和 $ker$ 满足条件: 对于 $i<k\le n(p_i)$ 位于 $(p_k)$ 之前，而对于 $i<k\le m(q_i)$ 位于 $(q_k)$ 之前。

1. 所有表达式都可以化简为范式，即对于所有表达式 $A$，都存在一个范式公式 $N$ 使得 $A\cap N$ 可证明。 2. 如果 $A\cup B$ 可证明，则 $\mathfrak{𝔉}(A)\cap \mathfrak{𝔉}(B)$ 也可证明，其中 $\mathfrak{𝔉}(A)$ 表示任何包含 $A$ 作为部分的表达式 (参见 Hilbert-Ackermann, 《论逻辑 III》, §7)。 3. 任何普遍有效的命题公式都是可证明的，即公理 1-4 构成了命题演算的完整公理系统。

现在我们来证明定理 I，首先要注意它也可以表示成以下形式:

定理 II 任何狭义函数演算公式要么是可证伪的，要么是可满足的 (在可数变量域中)。

定理 I 由定理 II 推出: 设 $A$ 是一个普遍表达式，则 $\bar{A}$ 不可满足，因此可被定理 II 证伪，即 $\bar{A}$，从而 $A$ 也是可证明的。反之亦然。

我们现在通过以下语句定义一个表达式 $K$ 的类 $\mathfrak{\Re }$:

1. $K$ 是一个正规公式。 2. $K$ 不包含自由的个体变量。 3. $K$ 的前缀以一个泛符号开头，以一个 $E$ 符号结尾。

则以下成立：

定理 III 如果每个 A-表达式都是可证伪的或可满足的，则所有表达式均成立。

证明：设 $A$ 是一个不属于 $\mathfrak{𝔄}$ 的表达式。设它包含自由变量 $\mathfrak{𝔯}$。显而易见，$A$ 的可证伪性蕴含着 $(E\mathfrak{𝔯})A$ 的可证伪性，反之亦然（根据引理 1e 和结论 3 或公理 5）；根据脚注中的定义，可满足性也同样成立。设 $(P)N$ 为 $(E\mathfrak{𝔯})A$ 的范式，且 $(E\mathfrak{𝔯})A\cup (P)N$ 可证。此外，设 $B=(x)(P)(Ey)[N\mathrm{\&}\{F(x)\vee \overline{F(y)}\}]$，则 $(P)N\sim B$ 可证（根据引理 4 及 $(x)(Ey)[F(x)\vee F(y)]$） $B$ 属于 $\mathfrak{\Re }$，因此根据假设，它要么是可满足的，要么是可证伪的。但根据 (1) 和 (2)，$B$ 的可满足性蕴含 $(Ex)A$ 的可满足性，从而也蕴含 $A$ 的可满足性，可证伪性亦然。因此，$A$ 也是可满足的，要么是可证伪的。

根据定理 III，只需证明：

每个 $\mathfrak{\Re }$-表达式要么是可满足的，要么是可证伪的。

为此，我们将 $\mathfrak{\Re }$-表达式的次数定义为其前缀的泛符号复数的数量，该复数由 $E$ 个符号分隔，并首先证明：

定理 IV 如果每个 $k$ 次表达式都是可满足的，要么是可证伪的，那么同样的道理也适用于每个 $k+1$ 次表达式。

证明：设 $(P)A$，是 $k+1$ 次的 $\mathfrak{\Re }$-表达式。设 $(P)=(\mathfrak{𝔯})(E\mathfrak{𝔯})(Q)$ 且 $(Q)=(\mathfrak{𝔲})(E\mathfrak{𝔳})(R)$，其中 $(Q)$ 的次数为 $k$，$(R)$ 的次数为 $k-1$。此外，设 $F$ 为不存在于 $A$ 中的函数变量。则设:

$B=({\mathfrak{𝔯}}^{\prime })(E{\mathfrak{𝔯}}^{\prime })F({\mathfrak{𝔯}}^{\prime }{\mathfrak{𝔯}}^{\prime })\mathrm{\&}(\mathfrak{𝔯})(\mathfrak{𝔯})[F(\mathfrak{𝔯}\mathfrak{𝔯})\to (Q)A]$

且

$C=({\mathfrak{𝔯}}^{\prime })(\mathfrak{𝔯})(\mathfrak{𝔲})(E{\mathfrak{𝔯}}^{\prime })(E\mathfrak{𝔳})(R)\{F({\mathfrak{𝔯}}^{\prime }{\mathfrak{𝔯}}^{\prime })\mathrm{\&}[F(\mathfrak{𝔯}\mathfrak{𝔯})\to A]{\}}^{1b}$

然后，将引理 4 与引理 6 结合应用两次，可得到以下可证性：$B\sim C$；此外，显然：$B\to (P)A$ 一般成立。现在，$C$ 的次数为 $k$，因此根据假设，它要么是可满足的，要么是可证伪的。

如果它是可满足的，那么 $(P)A$ 也是可满足的（根据 (3) 和 (4)）。如果它是可证伪的，那么 $B$ 也是可证伪的（根据 (3)），也就是说，$\bar{B}$ 是可证的。在 $\overline{B(Q)}$ $A$ 代替 $F$，则可证：

(3') $(E{\mathfrak{𝔯}}^{\prime })(Q)A\mathrm{\&}(\mathfrak{𝔯})(\mathfrak{𝔯})[(Q)A\to (Q)A]$

当然，由于 $(\mathfrak{𝔯})(\mathfrak{𝔯})[(Q)A\to (Q)A]$ 是可证的，所以 $({\mathfrak{ℭ}}^{\prime })(E{\mathfrak{𝔯}}^{\prime })(Q)A$ 也是可证的，也就是说，在这种情况下，$(P)A$ 是可证伪的。事实上，$(P)A$ 要么是可证伪的，要么是可满足的。

现在只需证明：

定理 V 每个一次公式要么是可满足的，要么是可证伪的。

该证明需要一些定义。令 $(\mathfrak{𝔯})(E\mathfrak{𝔯})A(\mathfrak{𝔯};\mathfrak{𝔯})$（简写为 $(P)A$）为任意一次公式。其中，$\mathfrak{𝔯}$ 表示变量的 $r$ 元组，$\mathfrak{𝔯}$ 表示变量的 $s$ 元组。设想从序列 $x_0,x_1,x_2,\dots x_i\dots$ 中取出 $r$ 个表，并将它们视为一个序列：

${\mathfrak{𝔯}}_1=(x_0{x}_0\dots x_0),{\mathfrak{𝔯}}_2=(x_1{x}_0\dots x_0),{\mathfrak{𝔯}}_3=(x_0{x}_1{x}_0\dots x_0)\text{ 等}$

并定义一个由 $(P)A$ 导出的公式组成的序列 $\{A_n\}$，如下所示：

\begin{align*} A_1 &= A(\mathfrak{r}_1; x_1x_2 \ldots x_s) \\ A_2 &= A(\mathfrak{r}_2; x_{s+1}x_{s+2} \ldots x_{2s}) \& A_1 \\ A_n &= A(\mathfrak{r}_n; x_{(n-1)s+1}x_{(n-1)s+2} \ldots x_{ns}) \& A_{n-1} \end{align*}

$s$-元组 $x_{(n-1)s+1}\dots x_{ns}$ 表示为 ${\mathfrak{𝔫}}_n$，因此：

$A_n=A({\mathfrak{𝔯}}_n;{\mathfrak{𝔫}}_n)\mathrm{\&}{A}_{n-1}$

此外，我们定义 $(P_n)A_n$ 为：

$(P_n)A_n=(E{x}_0)(E{x}_1)\dots (E{x}_{ns})A_n$

显而易见，在 $A_n$ 中只有变量 $x_0$ 到 $x_{ns}$，因此它们都受 $(P_n)$ 约束。此外，显然 $r$ 元组 ${\mathfrak{𝔯}}_{n+1}$ 中的变量已经出现在 $(P_n)$ 中（因此，它们与 ${\mathfrak{𝔫}}_{n+1}$ 中的变量不同）。当省略 $r$ 元组 ${\mathfrak{𝔯}}_{n+1}$ 中的变量时，$(P_n)$ 剩余的部分记为 $({P_n}^{\prime })$，因此，无论变量的顺序如何，$(E{x}_{n+1})({P_n}^{\prime })=(P_n)$。

给定这些符号，以下成立：

定理 VI 对于每个 $n$，可证明：

$(P)A\to (P_n)A_n$

为了证明，我们使用完全归纳法：

I. $(P)A\to (P_1)A_1$ 是可证的，因为我们有：

$(\mathfrak{𝔯})(E\mathfrak{𝔯})A(\mathfrak{𝔯};\mathfrak{𝔯})\to ({\mathfrak{𝔯}}_1)(E{\mathfrak{𝔯}}_1)A({\mathfrak{𝔯}}_1;{\mathfrak{𝔯}}_1)$

（根据引理 3 和推理规则 4）且

$({\mathfrak{𝔯}}_1)(E{\mathfrak{𝔯}}_1)A({\mathfrak{𝔯}}_1;{\mathfrak{𝔯}}_1)\to (E{\mathfrak{𝔯}}_1)(E{\mathfrak{𝔯}}_1)A({\mathfrak{𝔯}}_1;{\mathfrak{𝔯}}_1)$

（据引理 1a）

II. 对于每个 $n$，$(P)A\mathrm{\&}(P_n)A_n\to (P_{n+1})A_{n+1}$ 是可证的，因为：

$(\mathfrak{𝔯})(E\mathfrak{𝔯})A(\mathfrak{𝔯};\mathfrak{𝔯})\to ({\mathfrak{𝔯}}_{n+1})(E{\mathfrak{𝔯}}_{n+1})A({\mathfrak{𝔯}}_{n+1};{\mathfrak{𝔯}}_{n+1})$

（根据引理 3 和推理规则 4）且

$(P_n)A_n\to (E{\mathfrak{𝔯}}_{n+1})({P_n}^{\prime })A_n$

（据引理 2）进一步

$=\to (E{\mathfrak{𝔯}}_{n+1})[(E{\mathfrak{𝔯}}_{n+1})A({\mathfrak{𝔯}}_{n+1};{\mathfrak{𝔯}}_{n+1})\mathrm{\&}({P_n}^{\prime })A_n]$

（根据引理 1b，代入：$(E{\mathfrak{𝔯}}_{n+1})A({\mathfrak{𝔯}}_{n+1};{\mathfrak{𝔯}}_{n+1})$ 代替 $F^{\prime }$，且 $({P_n}^{\prime })A_n(G)$。）

如果观察到蕴涵式 (8) 的先行项是 (6) 和 (7) 后项的合取，则可证：$(P)A\mathrm{\&}(P_n)A_n\to (E{\mathfrak{𝔯}}_{n+1})[(E{\mathfrak{𝔯}}_{n+1})A({\mathfrak{𝔯}}_{n+1};{\mathfrak{𝔯}}_{n+1})\mathrm{\&}({P_n}^{\prime })A_n]$。

此外，由 (5) 和辅助命题 4、6、2 可证：

$(E{\mathfrak{𝔯}}_{n+1})[(E{\mathfrak{𝔯}}_{n+1})A({\mathfrak{𝔯}}_{n+1};{\mathfrak{𝔯}}_{n+1})\mathrm{\&}({P_n}^{\prime })A_n]\sim (P_{n+1})A_{n+1}$

由 (9) 和 (10) 可得定理 II，结合定理 I 可得定理 VI。

设 $A$ 包含函数变量 $F_1,F_2,\dots F_k$ 和命题变量 $X_1,X_2,\dots X_l$。$A_n$ 由如下形式的初等分量构成：

$F_1(x_{p_1}\dots x_{q_1}),F_2(x_{p_2}\dots x_{q_2}),\dots ;X_1,X_2,\dots X_l$

仅通过运算 $\nu$ 和 - 即可。我们通过用命题变量替换 $A_n$ 的基本组成部分，并将不同的组成部分（即使它们仅在各个变量的名称上有所不同）替换为不同的命题变量 $\psi$，为每个 $A_n$ 分配一个命题公式 $B_n$。此外，我们将“$(P)A$”的第 $n$ 层满足系统”称为函数系统 $f_1^{(n)},f_2^{(n)}\dots f_k^{(n)}$，该函数系统在整数 $z$（$0\le z\le ns$）的定义域中定义，并且对于命题变量 $X_1,X_2,\dots X_l$，其真值分别为 $w_1^{(n)},w_2^{(n)}\dots w_l^{(n)}$，其类型为：如果将 $F_i$ 替换为 $f_i^{(n)}$，将 $x_i$ 替换为数字 $i$，将 $X_i$ 替换为相应的真值 $w_i^{(n)}$ 在 $A_n$ 中，则结果为真。$n$ 阶满足系统显然存在当且仅当 $B_n$ 可满足。

每个 $B_{rt}$ 作为命题公式要么可满足，要么可证伪（引理 7）。因此，只有两种情况是可以想象的：

1. 至少一个 $B_n$ 是可证伪的。那么，正如人们容易看出的（结论 2、3；辅助命题 1c），相应的 $(P_n)A_n$ 也是可证伪的，因此，由于 $(P)A\to (P_n)A_n$ 的可证性，$(P)A$ 也是可证伪的。 2. 没有 $B_n$ 是可证伪的，所以所有都是可满足的。然后，每个层级都有满足系统。然而，由于每个级别的履行系统数量有限（由于相应单个域的有限性），并且每个第 $n+1$ 级履行系统都包含一个第 $n$ 级作为其一部分（这由连续 &-连接形成 $A_n$ 可直接得出，根据已知推论，在这种情况下存在一系列满足系统 $S_1,S_2,\dots S_k\dots (S_k$，第 $k$ 层)，每个后续系统都包含前一个系统作为其一部分。我们现在在所有整数 $\ge 0$ 的定义域中定义一个系统 $S=\{{\phi }_1,{\phi }_2\dots {\phi }_i;{\alpha }_1,{\alpha }_2\dots {\alpha }_l\}$，定义如下： 3. ${\phi }_p(a_1\dots a_i)(1\le p\le k)$ 成立当且仅当对于上述序列中至少一个 $S_m$（以及所有后续序列） $f_p^{(m)}(a_1\dots a_i)$ 成立。 4. ${\alpha }_i=w_i^{(m)}(1\le i\le l)$ 至少对一个（然后对所有其他） $S_m$ 成立。

那么显而易见，$S$ 使得公式 $(P)A$ 成立。在这种情况下，$(P)A$ 因此是可满足的，从而完成了上述公理系统完备性的证明。需要注意的是，现在已证明的决策问题等价关系“普遍有效 = 可证明”涉及将不可数函数简化为可数函数，因为“普遍有效”指的是不可数函数集，而“可证明”仅预设了可数证明图集。

定理 I 和定理 II 可以在各个方向上推广。首先，通过在以上公理 1-6 中添加两个公理，很容易将（个体之间的）同一性概念纳入考虑范围：

1. $x=x$

2. $x=y\to [F(x)\to F(y)]$

则以下内容适用于上述扩展域：

定理 VII 扩展域中每个普遍有效（更准确地说：在每个个体域中普遍有效）的公式都是可证明的

并且 VII 的等价公式

定理 VIII 扩展域中的每个公式要么是可证伪的，要么是可满足的（在有限或可数个体域中）。

为了证明，令 $A$ 表示扩展域中的任意公式。我们构造一个公式 $B$，它是 $A_1(x)x=x$ 与所有由公理 8 得出的公式的乘积（&-运算），方法是用 $A$ 中出现的函数变量代替 $F$，更准确地说：

$(x)(y)\{x=y\to [F(x)\to F(y)]\}$

对于所有来自 $A$ 的一元函数变量，

$(x)(y)(z)\{x=y,\to [F(xz)\to F(yz)]\}\mathrm{\&}(x)(y)(z)\{x=y,\to [F(zx)\to F(zy)]\}$

对于 $A$ 中所有二元函数变量（包括“=”本身），以及 $A$ 中三位和多位函数变量的相应公式。设 $B^{\prime }$ 是当 $B$ 中的 = 符号被 $G$ 替换后得到的公式，而 $G$ 中原本不存在该符号。此时，= 符号不再出现在表达式 $B^{\prime }$ 中，因此根据之前的证明，它要么是可证伪的，要么是可满足的。如果它是可证伪的，那么同样适用于 $B$，它是通过用 = 替换 $G$ 得到的。然而，$B$ 是 $A$ 的逻辑乘积，并且是公式的一部分，该公式显然可以根据公理 7 和 8 得到。因此在这种情况下，$A$ 也是可证伪的。现在假设 $B^{\prime }$ 可被可数个体域 $\mathrm{\Sigma }$ 中的某个函数组 $(S)$ 满足。从 $B^{\prime }$ 的构成方式可以清楚地看出，$g$（即，系统 $S$ 中用于替代 $G$ 的函数）是一个自反、对称且传递的关系，从而生成了 $\mathrm{\Sigma }$ 元素的分类，使得同一类元素的相互替换不会改变系统 $S$ 中函数的存在与否。因此，如果将同一类中的所有元素等同起来（例如，将类本身视为一个新的个体域的元素），那么 $g$ 就进入恒等关系，并且满足 $B$，从而也满足 $A$。事实上，$A$ 要么是可满足的，要么是可证伪的。

定理 I 的另一个推广可以通过考虑可数无限的逻辑表达式集来获得。与定理 I 和定理 II 类似的情况也适用于这些表达式集，即：

定理 IX 狭义函数演算中，每个可数无限的公式集要么是可满足的（即，系统中的所有公式都同时可满足），要么有一个有限子系统，其逻辑积是可证伪的。

IX 可直接得出：

定理 X 对于可数无限公式系统，要使其可满足，其每个有限子系统都是可满足的必要且充分条件。

关于定理 X，我们首先注意到，它的证明可以局限于一次正规公式系统，因为通过将定理 III 和 IV 的证明过程反复应用于各个公式，可以为每个公式系统 $\mathrm{\Sigma }$ 指定一个一次正规公式系统 ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$，使得 $\mathrm{\Sigma }$ 的任何子系统的可满足性都等价于 ${\mathrm{\Sigma }}^{\prime }$ 的相应子系统的可满足性。所以是

$({\mathfrak{𝔯}}_1)(E{\mathfrak{𝔶}}_1)A_1({\mathfrak{𝔯}}_1;{\mathfrak{𝔶}}_1),({\mathfrak{𝔯}}_2)(E{\mathfrak{𝔶}}_2)A_2({\mathfrak{𝔯}}_2;{\mathfrak{𝔶}}_2)\dots ({\mathfrak{𝔯}}_n)(E{\mathfrak{𝔶}}_n)A_n({\mathfrak{𝔯}}_n;{\mathfrak{𝔶}}_n)\dots$

为可数系统 $\mathrm{\Sigma }$，由一次正态表达式组成，$x_i$ 为 $r_i$ 个元组，$\mathfrak{𝔶}i$ 为变量的 $s_i$ 个元组。设 $x_1^1,x_1^2\dots x_n^i\dots$ 为从序列 $x_0,x_1,x_2\dots x_n\dots$ 中取出的所有 $r_i$ 个元组的序列，且指标和按递增。此外，令 $\mathfrak{𝔶}{k}^i$ 为上述序列中变量的 $s_i$ 元组，且变量序列

${\mathfrak{𝔶}}_1^1,{\mathfrak{𝔶}}_2^1,{\mathfrak{𝔶}}_1^2,{\mathfrak{𝔶}}_3^1,{\mathfrak{𝔶}}_2^2,{\mathfrak{𝔶}}_1^3,{\mathfrak{𝔶}}_4^1\dots \text{等},$

如果将每个 $\mathfrak{𝔶}{k}^i$ 替换为 $x$ 对应的 $s_i$ 元组，则它与序列 $x_1,x_2\dots x_n\dots$。此外，我们通过以下定义类似于上述公式序列 $\{B_n\}$：

$B_1=A_1({\mathfrak{𝔯}}_1^1;{\mathfrak{𝔶}}_1^1)$

$B_n=B_{n-1}\mathrm{\&}{A}_1({\mathfrak{𝔯}}_n^1;{\mathfrak{𝔶}}_n^1)\mathrm{\&}{A}_2({\mathfrak{𝔯}}_{n-1}^2;{\mathfrak{𝔶}}_{n-1}^2)\mathrm{\&}\dots A_{n-1}({\mathfrak{𝔯}}_2^{n-1};{\mathfrak{𝔶}}_2^{n-1})\mathrm{\&}{A}_n({\mathfrak{𝔯}}_1^n;{\mathfrak{𝔶}}_1^n)$

很容易忽略这样一个事实：$(P_n)B_n$（即，当 $B_n$ 中所有变量都由 $E$ 个符号约束时，由 $B_n$ 导出的公式）是上述系统 $\mathrm{\Sigma }$ 的前 $n$ 个表达式的结果。因此，如果 $\mathrm{\Sigma }$ 的每个有限子系统都是可满足的，那么每个 $B_n$ 也都是可满足的。但如果每个 $B_n$ 都是可满足的，那么整个系统 $\mathrm{\Sigma }$ 也都是可满足的（这可以从定理 V 的证明中使用的推理方法得出（参见第 355 页）），从而证明定理 X。IX 和 X 可以很容易地使用 VIII 的证明方法扩展到包含 = 符号的公式系统。

如果我们将研究范围限制在不包含命题变量的公式系统，并将其视为以出现的函数变量为基本概念的公理系统，则可以对定理 IX 进行略微不同的诠释。这样，定理 IX 便明确指出，任何有限或可数公理系统，如果其公理“所有”和“存在”从不指代类或关系，而只指代个体，则该公理系统要么自相矛盾（即矛盾可以通过有限个形式步骤建立），要么拥有实现。

最后，应该讨论公理 1-8 的独立性问题。至于命题公理 1-4，P. Bernays 已经证明，它们都不是从其他三个推导出来的。它们的独立性不会因公理 5-8 的添加而改变，这可以通过与 Bernays 完全相同的解释来证明，只需将其扩展到包含函数变量和 = 符号的公式即可，具体如下：

1. 省略前缀和单个变量； 2. 在公式的剩余部分，函数变量应视为命题变量； 3. 只能用一个“特定”值来替换符号”“。

为了证明公理 5 的独立性，我们通过替换以下公式的分量，为每个公式分配另一个zu：

$(x)F(x),(y)F(y)\dots ;(x)G(x),(y)G(y)\dots ;\dots$

如果出现，则将其替换为 $X\vee \mathrm{\neg }X$。这将公理 1-4 和 6-8 转化为通用公式。并且，由完全归纳推理可以看出，所有根据推理规则 1-4 从这些公理推导出的公式都具备此性质，而公理 5 不具备此性质。公理6的独立性也以完全相同的方式得到证明，只是这里 $(x)F(x),(y)F(y)\dots$ 等必须替换为 $X\mathrm{\&}\mathrm{\neg }X$。为了证明公理 7 的独立性，我们注意到，如果将恒等关系替换为空关系，公理1-6和8（以及由此推导出的所有公式）仍然普遍有效，而公理7则不然。类似地，即使恒等关系被替换，从公理 1-7 推导出的公式仍然普遍有效。

关系被全称关系取代，而公理 8 并非如此（在至少两个个体的个体域中）。人们很容易就能确信，推理规则 1-4 都不是多余的，但本文不再详细讨论。